沃程并义 人、要以运筹学方法论为指导，掌握运筹学整体优化思想 2、掌握运筹学的基本概念和基本理论、掌握线性规划、整数规划、动态规划等基本模型的功能和特 点，熟悉其建模条件、步骤以及相应的技巧，能根据实际问题抽象出适当的运筹学模型 3、具有运用运筹学思想和方法分析、解决实际问题的能力，发展创新思维与较强的应用能力】 0绪论 0.1运筹学的概念及特点 “运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学”， “运筹学为掌管这类系统的人提供决策目标和数量分 析的工具。 《大英百科全书》 运筹学“用数学方法研究经济、民政和国防等部门在内外环境的约束条件下合理分配人力、物力、财 力等资源，使实际系统有效运行的技术科学，它可以用来预测发展趋势，制定行动规划或优选可行 方案”。 《中国大百科全书》 运筹学“主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达有关运用 筹划与管理方面的问题，它根据 问题的要求，通过数学的分析与运算，作出综合性的合理安排，以达到较经济较有效地使用人力物 力”。 一《辞海》 运筹学“应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为 决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理”。 -《中国企业管理百科全书》 运筹学所研究的，通常是在必须分配稀缺资源的条件下，科学地决定如何最佳地设计和运营人一机 系统。 研究对像：人一机系统 条件：资源稀缺 方法：模型化，定量化 特点：模型方法的应用，多学科的综合，系统的整体观念 目的：决策支持 0.2云痒学的发展简史 运筹学在商业活动与行政事务中的早期应用可追溯到几个世纪以前，如古代的战净、娱乐及建设 等，但是系统的运筹学理论起源于二次大战期间。最初是英国军方为了最大限度地利用已经十分短 缺的战争资源， 召集了一批科学家与工程技术人员共同筹划作战物资的分配问题。英国军方的这 举动很快引起了美 国军 的重视，类似的研究小组在美国三军机构中相继成立， 并开 套相对 完整的新技术，用以指导协约国方面在战略上和战术上的各种军事行动。许多诺贝尔奖金获得者都 为运筹学的建立与发展作出过重要的贡献。其中，最早投入运筹学研究的诺贝尔奖金获得者是美国 物理学家B1 ackett,.他领导了第一个以运筹学命名的研究小组。由于该小组的成员来自各个方面，既 有物理学家，也有经济学家 数学家 社会学家和心理学家， 因而被人们戏称为B1: ket马戏团 可 以看出，运筹学是一门应用性极强的交叉科学。 由于运筹学技术在二次大战中的成功运用，它与许许多多受战争推动而产生的其它科学技术一样 在战争结束后立即引起了民间组 商业机构的浓厚兴趣。因为随着社会工业化程度的逐 步提局 各种生产组织和商业机构变得越来越大，与之相关的管理决策问题也变得越来越复杂。过去那种凭 直观、凭感觉、凭经验决策的方式已几乎不再可能。企业家们迫切需要一种定量分析的技术来帮助 他们正确处理日益复杂的经济决策问题。于是运筹学技术很快被运用到了民间组织和商业机构的管 理决策当中，且由于其影响之大、应用之广，以至于在民间应用的特定环境中 运筹学这一带有军 事色彩的专业术语被代之以管理科学这一颇具现代气息的新名词。 0.3学科作用及性质 (1)量化管理的重要性 管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策的一门学科
课程讲义 1 、要求以运筹学方法论为指导，掌握运筹学整体优化思想； 2 、掌握运筹学的基本概念和基本理论、掌握线性规划、整数规划、动态规划等基本模型的功能和特 点，熟悉其建模条件、步骤以及相应的技巧，能根据实际问题抽象出适当的运筹学模型； 3 、具有运用运筹学思想和方法分析、解决实际问题的能力，发展创新思维与较强的应用能力。 0 绪论 0.1 运筹学的概念及特点 “运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学”，“运筹学为掌管这类系统的人提供决策目标和数量分 析的工具”。——《大英百科全书》 运筹学“用数学方法研究经济、民政和国防等部门在内外环境的约束条件下合理分配人力、物力、财 力等资源，使实际系统有效运行的技术科学，它可以用来预测发展趋势，制定行动规划或优选可行 方案”。——《中国大百科全书》 运筹学“主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表达有关运用、筹划与管理方面的问题，它根据 问题的要求，通过数学的分析与运算，作出综合性的合理安排，以达到较经济较有效地使用人力物 力”。——《辞海》 运筹学“应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为 决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理”。——《中国企业管理百科全书》 运筹学所研究的，通常是在必须分配稀缺资源的条件下，科学地决定如何最佳地设计和运营人—机 系统。 研究对象：人—机系统； 条件：资源稀缺 方法：模型化，定量化 特点：模型方法的应用，多学科的综合，系统的整体观念 目的：决策支持 0.2 运筹学的发展简史 运筹学在商业活动与行政事务中的早期应用可追溯到几个世纪以前，如古代的战争、娱乐及建设 等，但是系统的运筹学理论起源于二次大战期间。最初是英国军方为了最大限度地利用已经十分短 缺的战争资源，召集了一批科学家与工程技术人员共同筹划作战物资的分配问题。英国军方的这一 举动很快引起了美国军方的重视，类似的研究小组在美国三军机构中相继成立，并开发出一套相对 完整的新技术，用以指导协约国方面在战略上和战术上的各种军事行动。许多诺贝尔奖金获得者都 为运筹学的建立与发展作出过重要的贡献。其中，最早投入运筹学研究的诺贝尔奖金获得者是美国 物理学家Blackett。他领导了第一个以运筹学命名的研究小组。由于该小组的成员来自各个方面，既 有物理学家，也有经济学家、数学家、社会学家和心理学家，因而被人们戏称为Blackett马戏团。可 以看出，运筹学是一门应用性极强的交叉科学。 由于运筹学技术在二次大战中的成功运用，它与许许多多受战争推动而产生的其它科学技术一样， 在战争结束后立即引起了民间组织和商业机构的浓厚兴趣。因为随着社会工业化程度的逐步提高， 各种生产组织和商业机构变得越来越大，与之相关的管理决策问题也变得越来越复杂。过去那种凭 直观、凭感觉、凭经验决策的方式已几乎不再可能。企业家们迫切需要一种定量分析的技术来帮助 他们正确处理日益复杂的经济决策问题。于是运筹学技术很快被运用到了民间组织和商业机构的管 理决策当中，且由于其影响之大、应用之广，以至于在民间应用的特定环境中，运筹学这一带有军 事色彩的专业术语被代之以管理科学这一颇具现代气息的新名词。 0.3 学科作用及性质 （1） 量化管理的重要性 管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策的一门学科
目的：用科学方法分析管理问题，为管理者决策提供依据。 目标：在企业经营内外环境的限制下，实现资源效用最大。 定性到定量分析，数量界限的重要性：量变引起质变 (2)决策意识的重要性：通过具体例子讲解 (3)决策的科学性：通过具体例子讲解 学科性质 (1)研究对象 经济和管理活动中能用数量关系”描述的，如运营、规划与组织管理问题，解决的理论模型和优化方 法实践。 (2)学利特点 强调科学性和定量分析；强调应用性和实践性：强调从整体上进行把握。 0.4运筹学的模型 (一）模型的形式及构建思路 模型是运筹学研究客观现实的工具和手段。常见的模型有以下3种基本形式： (1)思维模型：它是研究者对于某种事物的想象或者概念性的描述，譬如公司主管头脑中对于公司未 来市场的规划。这虽然不是一种精确、具体、可见的形式，但通常是其它模型的原源。 (2)物理模型：它可以是一个与实物同等尺寸、或者被放大、或者被缩小、或者被简化的几何模型， 用以形象地表现和演示被研究的对像；它也可以是一些图表，用以说明事物的流程。 (③)数学模型：它是采用数学符号来精确描述实际事物中的变动因素和因素间的相互关系。 构造模型是一种创造性劳动，成功的模型往往是科学和艺术的结晶。建模的方法和思路有以下4种： (1)直接分析法：根据研究者对问题内在机理的认识直接构造模型，并利用已知的算法对问题求解与 分析。如线性规划模型 动态规划模型，排队模型，存储模型，决策与对策模型等等 (②)类比法：模仿类似问题的结构性质建立模型并进行类比分析。如物理系统、化学系统、信息系 统、和经济系统之间都有某些相通的地方，因而可互相借鉴。 (③)统计分析法：尽管机理未明，但可根据历史资料或实验结果运用统计分析方法建模。 (4)逻辑推理法：利用知识和经验对事物的变化过程进行逻辑推理来构造模型。 (二)数学模型的构建 数学模型是三种常见模型中最抽象、最复杂的模型，它反映的是事物的本质。数学模型的一般形式 可以写为 目标的评价准则测U=fxi,y,k) 约束条件g(xi,yi,k)20 式中：x为可控变量；y为已知参数；k为不确定性因素。 目标的评价准侧一般要求达到最佳（最大或最小）、适中、满意等。准侧可以是单一的 也可以是多个 的。约束条件可以有许多， 也可以 一个没有。如果g为等式，即为平衡条件。当模型中没有不确定性 因素时，称之为确定性模型。如果不确定性因素是随机因素，则为随机模型；如果是模糊因素，则 为模糊模型；如果既有随机因素又有模糊因素，则为模糊随机模型。 在建立了问题的数学模型之后，如何求解模型是运筹学的另 一个关键所在。运等学的进步有赖于定 量分析技术的应用与发展，尤其是近年来计算机技术的迅速提高，各种管理决策方面的应用性软件 相继推出，使决策者得以借助于计算机对复杂的实际问题进行定量分析，大大改进了定量技术的有 效性。 必须指出的是，我们在应用数学模型和定量分析技术的时候应该十分小心。因为实际问题通常是复 杂的，它包含着许许多多数字的和非数字的有用信息。在数学模型的量化与抽像过程中，很容易由 于理想化而偏离实际情况从而失去代表性
目的：用科学方法分析管理问题，为管理者决策提供依据。 目标：在企业经营内外环境的限制下，实现资源效用最大。 定性到定量分析，数量界限的重要性：量变引起质变 （2）决策意识的重要性：通过具体例子讲解 （3）决策的科学性：通过具体例子讲解 学科性质 （1） 研究对象 经济和管理活动中能用“数量关系”描述的，如运营、规划与组织管理问题，解决的理论模型和优化方 法实践。 （2） 学科特点 强调科学性和定量分析；强调应用性和实践性；强调从整体上进行把握。 0.4 运筹学的模型 （一）模型的形式及构建思路 模型是运筹学研究客观现实的工具和手段。常见的模型有以下3种基本形式： (1) 思维模型：它是研究者对于某种事物的想象或者概念性的描述，譬如公司主管头脑中对于公司未 来市场的规划。这虽然不是一种精确、具体、可见的形式，但通常是其它模型的原源。 (2) 物理模型：它可以是一个与实物同等尺寸、或者被放大、或者被缩小、或者被简化的几何模型， 用以形象地表现和演示被研究的对象；它也可以是一些图表，用以说明事物的流程。 (3) 数学模型：它是采用数学符号来精确描述实际事物中的变动因素和因素间的相互关系。 构造模型是一种创造性劳动，成功的模型往往是科学和艺术的结晶。建模的方法和思路有以下4种： (1) 直接分析法：根据研究者对问题内在机理的认识直接构造模型，并利用已知的算法对问题求解与 分析。如线性规划模型，动态规划模型，排队模型，存储模型，决策与对策模型等等。 (2) 类比法：模仿类似问题的结构性质建立模型并进行类比分析。如物理系统、化学系统、信息系 统、和经济系统之间都有某些相通的地方，因而可互相借鉴。 (3) 统计分析法：尽管机理未明，但可根据历史资料或实验结果运用统计分析方法建模。 (4) 逻辑推理法：利用知识和经验对事物的变化过程进行逻辑推理来构造模型。 （二）数学模型的构建 数学模型是三种常见模型中最抽象、最复杂的模型，它反映的是事物的本质。数学模型的一般形式 可以写为： 目标的评价准则 U = f(xi, yj, ξk) 约束条件 g(xi, yj, ξk) ≥0 式中： xi为可控变量； yj为已知参数； ξk为不确定性因素。 目标的评价准则一般要求达到最佳(最大或最小)、适中、满意等。准则可以是单一的，也可以是多个 的。约束条件可以有许多，也可以一个没有。如果g为等式，即为平衡条件。当模型中没有不确定性 因素时，称之为确定性模型。如果不确定性因素是随机因素，则为随机模型；如果是模糊因素，则 为模糊模型；如果既有随机因素又有模糊因素，则为模糊随机模型。 在建立了问题的数学模型之后，如何求解模型是运筹学的另一个关键所在。运筹学的进步有赖于定 量分析技术的应用与发展，尤其是近年来计算机技术的迅速提高，各种管理决策方面的应用性软件 相继推出，使决策者得以借助于计算机对复杂的实际问题进行定量分析，大大改进了定量技术的有 效性。 必须指出的是，我们在应用数学模型和定量分析技术的时候应该十分小心。因为实际问题通常是复 杂的，它包含着许许多多数字的和非数字的有用信息。在数学模型的量化与抽象过程中，很容易由 于理想化而偏离实际情况从而失去代表性
(三)运筹学的工作步骤及工作原则 第一步：确定目标，明确约束；注意“抓主要矛盾、舍次要矛盾”。 第二步：选择模型、设定变量；注意"描述约束和目标、确定参数。 第三步：选择求解方法、求解问题， 第四步：灵敏度分析、评价； 第五步：汇总、解释结果、报告。 (四)运筹学的分支及应用 分支： 线性规划、整数规划、非线性规划、多目标规划、动态规划（多阶段决策）、对策论、决策论、存 储论、排队论、图论、其它。 主要应用于： 市场销售：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等。 生产管理：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等，追求利润最大化 和成本最小化。 库存管理：多种物资库存量的管理，某些设备的库存方式、库存量等的确定。 运输管理：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等。 人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等。 财会管理：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等。 此外，还有设备管理、项目选择雨评价、工程优化设计与管理、计算机和信息管理、城市管理等 0.5运筹学的科学性和艺术性 （一）科学性 作为科学，运筹学必须在科学方法论的指导下进行科学探索。其工作步骤包括 (1)确定问题：目标、约束、变量和参数。 (②)建立模型：目标、约束、变量和参数之间的关系。 (3)求解模型：最优解、有效解和满意解。 (4)解的检验：正确性、有效性和稳定性 (5)解的控制：灵敏度分析。 (6)解的实施：解释、培训和监测。 (二)艺术性 作为艺术，运筹学涉及到决策者的社会环境、心理作用、主观意愿和工作经验等多方面的因素，而 这些因素又大都具有模糊特征与动态性质。为了有效地应用运筹学，前英国运筹学学会会长托姆材 森提出以下原则： (1)合伙原则：运筹学工作者与管理工作者相结合： (②)催化原则：多学科协作，打破常规。 (3)参透原则：跨部价门、跨行业联合。 (4)独立原则：不受某人或某部门的特殊政策所左右。 (⑤)宽容原则：广开思路，兼容并蓄。 (6)平衡原则：平衡矛盾，平衡关系。 第1章线性规划模型及其应用 1.1线性规划的数学模型 (一)问题的提出
（三）运筹学的工作步骤及工作原则 第一步：确定目标，明确约束；注意“抓主要矛盾、舍次要矛盾”。 第二步：选择模型、设定变量；注意“描述约束和目标、确定参数”。 第三步：选择求解方法、求解问题。 第四步：灵敏度分析、评价； 第五步：汇总、解释结果、报告。 （四）运筹学的分支及应用 分支： 线性规划、整数规划、非线性规划、多目标规划、动态规划（多阶段决策）、对策论、决策论、存 储论、排队论、图论、其它。 主要应用于： 市场销售：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等。 生产管理：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、 物料管理等，追求利润最大化 和成本最小化。 库存管理：多种物资库存量的管理，某些设备的库存方式、库存量等的确定。 运输管理：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等。 人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等。 财会管理：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等。 此外，还有设备管理、项目选择雨评价、工程优化设计与管理、计算机和信息管理、城市管理等。 0.5 运筹学的科学性和艺术性 （一）科学性 作为科学，运筹学必须在科学方法论的指导下进行科学探索。其工作步骤包括： (1) 确定问题：目标、约束、变量和参数。 (2) 建立模型：目标、约束、变量和参数之间的关系。 (3) 求解模型：最优解、有效解和满意解。 (4) 解的检验：正确性、有效性和稳定性。 (5) 解的控制：灵敏度分析。 (6) 解的实施：解释、培训和监测。 （二）艺术性 作为艺术，运筹学涉及到决策者的社会环境、心理作用、主观意愿和工作经验等多方面的因素，而 这些因素又大都具有模糊特征与动态性质。为了有效地应用运筹学，前英国运筹学学会会长托姆林 森提出以下原则： (1) 合伙原则：运筹学工作者与管理工作者相结合。 (2) 催化原则：多学科协作，打破常规。 (3) 渗透原则：跨部门、跨行业联合。 (4) 独立原则：不受某人或某部门的特殊政策所左右。 (5) 宽容原则：广开思路，兼容并蓄。 (6) 平衡原则：平衡矛盾，平衡关系。 第1章 线性规划模型及其应用 1.1 线性规划的数学模型 （一）问题的提出
一些典型的线性规划在管理上的应用，例如： 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少： 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润： 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大： 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大： 劳动力安非：用最少的劳云动力来满足工作的需要： 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。 线性规划的组成 目标函数：maxf或minf; 约束条件：s.t.(subject to),满足于： 决策变量：用符号来表示可控制的因素。 例1-1美佳公司计划制造1、两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备 A,B的台时、调试工序时间及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情 况，如表11所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润为最大。 表1-1 项目 1每天可用能力 设备Ah) 0515 设备Bh) 62 24 测试工序h) 115 利润 21 例11中先用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电和的数量。这时该公司可 获取的利润为(2x1+×2)元，令z=2x1+x2,因问题中要求获取的利润为最大，即 max z. z是该公司能获取的利润的目标值，它是变量x1,x2的函数，称为目标函数。 x1,x2的取值受到设备A、B和调试工序能力的限制，用于描述限制条件的数学 表达式称为约束条件。 由此例1的数学模型可表为：（目体风第一章课件PPT)。 说明： max:maximize的缩写，“最大化”， s.t.subject to的缩写， “受限制于 (二)线性规划的概念 线性规划是指如何最有效或最佳地谋划经济活动。它所研究的问题有两类：一类是指一定资源的条 件下，达到最高产量、最高产值、最大利润；另一类是，任务量一定，如何统筹安排，以最小的消 耗取完成这项任务。如最低成本问题、最小投资、最短时间、最短距离等问题。前者是求极大值问 题，后者是求极小值问题。总之，线性规划是一定限制条件下，求目标函数极值的问题。 如果在规划问题的数学模型中，变量是连续的（数值取实数），其目标函 数是有关变量的线性函数（一次方），约束条件是有关变量的线性等式或不等式，这样，规划问题 的数学模型是线性的。反之，就是非线性的规划问题（其中一个条件符合即可）。 定义： 对于求取一组变量xj0=1,2,n),使之既满足线性约束条件，又使具有线
一些典型的线性规划在管理上的应用，例如： 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少； 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润； 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大； 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大； 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要； 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。 线性规划的组成 目标函数：max f 或 min f ； 约束条件：s.t. (subject to)，满足于； 决策变量：用符号来表示可控制的因素。 例1-1 美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备 A，B的台时、调试工序时间及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情 况，如表1-1所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润为最大。 表1-1 项目 I II 每天可用能力 设备A(h) 设备B(h) 测试工序(h) 0 6 1 5 2 1 15 24 5 利润 2 1 例1-1中先用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电Ⅰ和Ⅱ的数量。这时该公司可 获取的利润为(2x1+x2)元，令z=2x1+x2，因问题中要求获取的利润为最大，即 max z。 z是该公司能获取的利润的目标值，它是变量x1，x2的函数，称为目标函数。 x1，x2的取值受到设备A、B和调试工序能力的限制，用于描述限制条件的数学 表达式称为约束条件。 由此例1的数学模型可表为：（具体见第一章课件PPT）。 说明： max: maximize的缩写， “最大化”， s.t. subject to的缩写， “受限制于……” （二）线性规划的概念 线性规划是指如何最有效或最佳地谋划经济活动。它所研究的问题有两类：一类是指一定资源的条 件下，达到最高产量、最高产值、最大利润；另一类是，任务量一定，如何统筹安排，以最小的消 耗取完成这项任务。如最低成本问题、最小投资、最短时间、最短距离等问题。前者是求极大值问 题，后者是求极小值问题。总之，线性规划是一定限制条件下，求目标函数极值的问题。 如果在规划问题的数学模型中，变量是连续的（数值取实数），其目标函 数是有关变量的线性函数（一次方），约束条件是有关变量的线性等式或不等式，这样，规划问题 的数学模型是线性的。反之，就是非线性的规划问题（其中一个条件符合即可）。 定义： 对于求取一组变量xj(j=1,2,…..,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线
性的目标函数取得极值的一类最优化问题称为线性规划问题。 (三)应用举例 见第1章PPT第7-10,13-25页 线性规划的数学模型由 决策变量Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件Constraints 构成。称为三个要素。 怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： 1.解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数 通常是求最大值或最小值 2.解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。 线性规划三要素 1.目标函数最优化一 一单一目标、多重目标问题如何处理 2实现目标的多种方法若实现目标只有一种方法不存在规划问题， 3.生产条件的约束 资源是有限的资源无限不存在规划问题。 线性规划模型的基本结构： 1.决策变量 未知数。它是通过模型计算来确定的决策因素 ,又分为实际变量 求解的变量和 计算变量，计算变量又分松弛变量（上限）和人工变量（下限）。 2.目标函数 一经济目标的数学表达式。目标函数是求变量的线性函数的极大值和极小值这样一个极 值问题。 3约声条件 一实现经济目标的制约因素。它包括：生产资源的限制（客观约束条件）、生产数量 质量要求的限制（主观约束条件）、特定技术要求和非负限制。 运用线性规划方法的特点及局限性 特点： 1.可以使研究对缘具体化、数量化。可以对所研究的技术经济问题做出明确的结论； 2.线性； 3.允许出现生产要素的剩余量 4.有一套完整的运算程序。 局限性 1.线性规划它是以价格不变和技术不变为前提条件的，不能处理涉及到时间因素的问题。因此，线 性规划只能以短期计划为基础。 2在生产活动中，投入产出的关系不完全是线性关系，由于在一定的技术条件下，报酬递减规律起作 用，所以要满足线性假定是不可能的。在线性规划解题中，常常把投入产出的非线性关系转化为线 性关系来处理，以满足线性的假定性，客观上产生误差。 3.线性规划本身只是一组方程式，并不提供经济概念，它不能代替人们对现实经济问题的判断， (四)线性规划的一般模型及标准型 见第一章PPT第29-35页 1.2线性规划模型的图解法 (一）什么是图解法 线性规划的图解法就是用几何作图的方法分析并求出其最优解的过程
性的目标函数取得极值的一类最优化问题称为线性规划问题。 （三）应用举例 见第1章PPT第7-10，13-25页。 线性规划的数学模型由 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints 构成。称为三个要素。 怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。 线性规划三要素 1.目标函数最优化——单一目标、多重目标问题如何处理？ 2.实现目标的多种方法 若实现目标只有一种方法不存在规划问题。 3.生产条件的约束——资源是有限的 资源无限不存在规划问题。 线性规划模型的基本结构： 1.决策变量 ——未知数。它是通过模型计算来确定的决策因素。又分为实际变量——求解的变量和 计算变量，计算变量又分松弛变量（上限）和人工变量（下限）。 2.目标函数——经济目标的数学表达式。目标函数是求变量的线性函数的极大值和极小值这样一个极 值问题。 3.约束条件——实现经济目标的制约因素。它包括：生产资源的限制（客观约束条件）、生产数量、 质量要求的限制（主观约束条件）、特定技术要求和非负限制。 运用线性规划方法的特点及局限性 特点： 1.可以使研究对象具体化、数量化。可以对所研究的技术经济问题做出明确的结论； 2.线性； 3.允许出现生产要素的剩余量； 4.有一套完整的运算程序。 局限性： 1. 线性规划它是以价格不变和技术不变为前提条件的，不能处理涉及到时间因素的问题。因此，线 性规划只能以短期计划为基础。 2.在生产活动中，投入产出的关系不完全是线性关系，由于在一定的技术条件下，报酬递减规律起作 用，所以要满足线性假定是不可能的。在线性规划解题中，常常把投入产出的非线性关系转化为线 性关系来处理，以满足线性的假定性，客观上产生误差。 3.线性规划本身只是一组方程式，并不提供经济概念，它不能代替人们对现实经济问题的判断。 （四）线性规划的一般模型及标准型 见第一章PPT第29-35页 1.2 线性规划模型的图解法 （一）什么是图解法 线性规划的图解法就是用几何作图的方法分析并求出其最优解的过程
求解的思路是：先将约束条件加以图解，求得满足约束条件的解的集合（即可行域），然后结合目 标函数的要求从可行域中找出最优解。 由于线性规划模型中只有两个决策变量，因此只需建立平面直角坐标系就可以进行图解了。 几个概念： 若x*满足约束条件，则称之为LP问题的可行解 所有可行解的集合称为可行域， 使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。 对给定的LP问题，若存在最优解，则称该LP问题有解，否则称LP问题无解。 (二)图解法的步骤： 1建立平面直角坐标系， 标出坐标原点坐标轴的指向和单位长度」 2对约束条件加以图解，找出可行域。 3.画出目标函数等值线。 4.结合目标函数的要求求出最优解。 一般地，将目标函数直线放在可行域中；求最大值时直线沿着矢量方向移动，求最小值时沿着矢量 的反方向移动 具体例题见PPT第一章第39-44页。 图解法学习要点： 1通过图解法了解线性规划有几种解的形式。 2.作图的关键有三点： (1)可行解区域要画正确： (2)目标函数增加的方向不能画错： (3)目标函数的直线怎样平行移动 1.3线性规划的有关概念 （一）线性规划常用的概念 凸集：凸集(Convex set)设K是n维空间的一个点集，对任意两点，时，则称K为凸集。 凸组合：凸组合(Convex combination)设是Rn中的点，若存在，使得成立，则称x为 的凸组合。 极点(Extreme point):设K是凸集，，若X不能用K中两个不同的点的凸组合表示为X=X(1)+(1-)X(2) (0<1),则称X是K的一个极点或顶点。 X是凸集K的极点是指X不可能是K中某一线段的内点，只能是K中某一线段的端点。 可行解：变量满足所有约束条件的一组值。 可行解集：所有可行解构成的集合。 可行域：可行解集构成n维空间的区域. 最优解：使得目标函数达到最优的可行解。 最优值：最优解对应的目标函数值 目的：求最优解和最优值」 求解方法：单纯形法 (仁)线性规划的基本定理 定理1.1若线性规划可行解K非空，则K是凸集 定理1.2线性规划的可行解集合K的点X是极点的充要条件为X是基本可行解
求解的思路是：先将约束条件加以图解，求得满足约束条件的解的集合（即可行域），然后结合目 标函数的要求从可行域中找出最优解。 由于线性规划模型中只有两个决策变量，因此只需建立平面直角坐标系就可以进行图解了。 几个概念： 若x*满足约束条件，则称之为LP问题的可行解。 所有可行解的集合称为可行域。 使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。 对给定的LP问题，若存在最优解，则称该LP问题有解，否则称LP问题无解。 （二）图解法的步骤： 1.建立平面直角坐标系，标出坐标原点, 坐标轴的指向和单位长度。 2.对约束条件加以图解，找出可行域。 3.画出目标函数等值线。 4.结合目标函数的要求求出最优解。 一般地，将目标函数直线放在可行域中； 求最大值时直线沿着矢量方向移动， 求最小值时沿着矢量 的反方向移动。 具体例题见PPT第一章第39-44页。 图解法学习要点： 1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式。 2.作图的关键有三点： (1)可行解区域要画正确； (2)目标函数增加的方向不能画错； (3)目标函数的直线怎样平行移动。 1.3 线性规划的有关概念 （一） 线性规划常用的概念 凸集：凸集(Convex set)设K是n维空间的一个点集，对任意两点 ， 时，则称K为凸集。 凸组合：凸组合(Convex combination) 设 是Rn 中的点，若存在，使得成立，则称X为 的凸组合。 极点(Extreme point) ：设K是凸集，，若X不能用K中两个不同的点 的凸组合表示为 X=X(1)+(1-)X(2) (0<<1)，则称X是K的一个极点或顶点。 X是凸集K的极点是指X不可能是K中某一线段的内点，只能是K中某一线段的端点。 可行解：变量满足所有约束条件的一组值。 可行解集：所有可行解构成的集合。 可行域： 可行解集构成n维空间的区域。 最优解：使得目标函数达到最优的可行解。 最优值：最优解对应的目标函数值。 目的：求最优解和最优值。 求解方法：单纯形法 （二）线性规划的基本定理 定理1.1 若线性规划可行解K非空,则K是凸集。 定理1.2 线性规划的可行解集合K的点X是极点的充要条件为X是基本可行解
定理1.3若线性规划有最优解，则最优值一定可以在可行解集合的某个极点上到达，最优解就是极点的 坐标向量。 定理1.2刻划了可行解集的极点与基本可行解的对应关系，极点是基本可行解，反之，基本可行解 定是极点，但它们并非 一对应，有可能辆个或几个基本可行解对应于同一极点（退化基本可行解 时)。 定理1.3描述了最优解在可行解集中的位置，若最优解唯一，则最优解只能在某一极点上达到，若具 有多重最优解，则最优解是某些极点的凸组合，从而最优解是可行解集的极点或界点，不可能是可 行解集的内点 若线性规划的可行解集非空且有界，则一定有最优解；若可行解集无界，则线性规划可能有最优 解，也可能没有最优解。 定理1.2及1.3还给了我们一个启示，寻求最优解不是在无限个可行解中去找，而是在有限个基本可行 解中去寻求。 1.4用EXCEL SOLVER求解线性规划问题 单纯形计算方法(Simplex Method)是先求出一个初始基可行解并判断它是否最优，若不是最优，再换 一个基可行解并判断，直到得出最优解或无最优解。它是一种逐步逼近最优解的迭代方法。 当系数矩阵A中可以观察得到一个可行基时（通常是一个单位矩阵或m个线性无关的单位向量组成的 矩阵)，可以通过解线性方程组求得基本可行解。 由于课时所限，本课程主要讲授如何应用EXCEL求解线性规划模型，所以不再详细讲解单纯形法。 问题定义： (1)输入问题的各种参数（数据单元格） (2)定义问题的决策变量（可变单元格）： (3)求出问题在相应决策下的目标函数值（目标单元格）： 优化求解： (1)启动Excel Solver, (2)指定目标函数； (3)指定决策变量 (4)指定约束； (5)求解。 Excel的使用要点： (1)变量、参数与矩阵的命名、相应的单元格布置： (2)常用函数 SUMPRODUCT(X1,X2):X1、X2可以是向量或矩阵（包含的分量的数量相等）；含义：对应 分量相乘后求和，即X1的某分量与X2的对应分量相乘，所有的对应分量相乘后，再进行求和。 第2章线性规划的对偶理论与灵敏度分析 2.1对偶问题的提出 对偶问题概念 任何一个线性规划问题都有一个伴生的线性规划问题，称为其"对偶"问题。 对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述，其最优解与原问题的最优解有着密 切的联系，在求得一个线性规划最优解的同时也就得到对偶线性规划的最优解， 反之亦然。 对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的理论，是线性规划理论的重要内 容之一
定理1.3 若线性规划有最优解,则最优值一定可以在可行解集合的某个极点上到达,最优解就是极点的 坐标向量。 定理1.2刻划了可行解集的极点与基本可行解的对应关系，极点是基本可行解，反之，基本可行解一 定是极点，但它们并非一一对应，有可能两个或几个基本可行解对应于同一极点（退化基本可行解 时）。 定理1.3描述了最优解在可行解集中的位置，若最优解唯一，则最优解只能在某一极点上达到，若具 有多重最优解，则最优解是某些极点的凸组合，从而最优解是可行解集的极点或界点，不可能是可 行解集的内点 。 若线性规划的可行解集非空且有界，则一定有最优解；若可行解集无界，则线性规划可能有最优 解，也可能没有最优解。 定理1.2及1.3还给了我们一个启示，寻求最优解不是在无限个可行解中去找，而是在有限个基本可行 解中去寻求。 1.4 用EXCEL SOLVER求解线性规划问题 单纯形计算方法(Simplex Method)是先求出一个初始基可行解并判断它是否最优，若不是最优，再换 一个基可行解并判断，直到得出最优解或无最优解。它是一种逐步逼近最优解的迭代方法。 当系数矩阵A中可以观察得到一个可行基时（通常是一个单位矩阵或m个线性无关的单位向量组成的 矩阵），可以通过解线性方程组求得基本可行解。 由于课时所限，本课程主要讲授如何应用EXCEL求解线性规划模型，所以不再详细讲解单纯形法。 问题定义： （1）输入问题的各种参数（数据单元格）； （2）定义问题的决策变量（可变单元格）； （3）求出问题在相应决策下的目标函数值（目标单元格）； 优化求解： （1）启动Excel Solver； （2）指定目标函数； （3）指定决策变量； （4）指定约束； （5）求解。 Excel的使用要点： （1）变量、参数与矩阵的命名、相应的单元格布置； （2）常用函数 SUMPRODUCT（X1，X2）： X1、X2可以是向量或矩阵（包含的分量的数量相等）；含义：对应 分量相乘后求和，即X1的某分量与X2的对应分量相乘，所有的对应分量相乘后，再进行求和。 第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析 2.1 对偶问题的提出 对偶问题概念： 任何一个线性规划问题都有一个伴生的线性规划问题，称为其“对偶”问题。 对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述，其最优解与原问题的最优解有着密 切的联系，在求得一个线性规划最优解的同时也就得到对偶线性规划的最优解， 反之亦然。 对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的理论，是线性规划理论的重要内 容之一
例2-1引用第1章中例1-1的数据，如下表所示 项目 每天可用能幼 设备A(h) 0515 设备Bh) 6224 测试工序h)115 利润 21 其线性规划问题为： (P) 假定有某个公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃 生产活动，出让自己的资源？ 条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 设y1,y2,y3分别代表单位时间(h)设备A、设备B和调试工序的出让代价。y1,y2,y3的取值应满 足 6y2+y32 5y1+2y2+y31 该公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，即： 其中第一个不等式表示美佳公司用6设备B和1h调试可生产一件家电1，赢利2元；第二个不等式表示 用5h设备A,2h设备B及1h调试可生产一件家电I,赢利1元. (D) (P)和(D)两个线性规划问题，通常称P为原问题，D为前者的对偶问题。 对偶模型的一般式见第2章PPT第4-7页。 原模型P和对偶模型D既有联系又有区别。联系在于，它们都是关于电器厂生产经营的模型，并且使 用相同的数据；区别在于，它们所反映的实质内容是完全不同的：P是站在电器厂经营者的立场上追 求电器厂的销售收入最大：而D则是站在电器厂谈判对手的立场上寻求应付电器厂租金最少的策略。 任何线性规划问题都有对偶问题，而且都有相应的经济意义。由以上不难得到，所谓对偶规划，就 是与性期别原问相取对应并使甲后 组数据按照特定方法形成的另 种反映不同性质问题的线性 规划模型。 2.2线性规划的对偶理论 线性规划的对偶理论包括四个基本定理。 定理1对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 定理2弱对偶原理（弱对偶性）：设和分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有， 推论)若和分别是问题(P)和(D)的可行解，则C是(D)的目标函数最小值的一个下界；b是 (P)的目标函数最大值的 个上界。 这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性规划的任意目标值都不会大于求最小值 的线性规划的任一目标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值 推论(2)在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可 行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性 关于无界性有如下结论： 推论)在一对对偶问题(P)和(D)中，若一个可行（如P),而另一个不可行，（如D),则该 可行的问题无界。 定理3最优性判别定理 若X*和Y分别是P和D的可行解且CX*=Yb,则X*、Y*分别是问题P和D的最优解
例2-1 引用第1章中例1-1的数据，如下表所示： 项目 I II 每天可用能力 设备A(h) 设备B(h) 测试工序(h) 0 6 1 5 2 1 15 24 5 利润 2 1 其线性规划问题为： (P) 假定有某个公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃 生产活动，出让自己的资源？ 条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的赢利。 假设y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工序的出让代价。 y1,y2,y3的取值应满 足： 6y2+y32 5y1+2y2+y31 该公司希望用最小代价把美佳公司的全部资源收买过来，即： 其中第一个不等式表示美佳公司用6h设备B和1h调试可生产一件家电I,赢利2元；第二个不等式表示 用5h设备A,2h设备B及1h调试可生产一件家电Ⅱ，赢利1元。 （D） （P）和（D）两个线性规划问题，通常称P为原问题，D为前者的对偶问题。 对偶模型的一般式见第2章PPT第4-7页。 原模型P和对偶模型D既有联系又有区别。联系在于，它们都是关于电器厂生产经营的模型，并且使 用相同的数据；区别在于，它们所反映的实质内容是完全不同的：P是站在电器厂经营者的立场上追 求电器厂的销售收入最大;而D则是站在电器厂谈判对手的立场上寻求应付电器厂租金最少的策略。 任何线性规划问题都有对偶问题，而且都有相应的经济意义。由以上不难得到，所谓对偶规划，就 是与线性规划原问题相对应并使用同一组数据按照特定方法形成的另一种反映不同性质问题的线性 规划模型。 2.2 线性规划的对偶理论 线性规划的对偶理论包括四个基本定理。 定理1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。 定理2 弱对偶原理（弱对偶性）：设和 分别是问题（P）和（D）的可行解，则必有。 推论⑴ 若和分别是问题（P）和（D）的可行解，则C是（D）的目标函数最小值的一个下界；b 是 （P）的目标函数最大值的一个上界。 这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性规划的任意目标值都不会大于求最小值 的线性规划的任一目标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。 推论⑵ 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可 行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。 关于无界性有如下结论： 推论⑶ 在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行，（如D），则该 可行的问题无界。 定理3 最优性判别定理： 若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = Y* b，则X* 、Y*分别是问题 P和D 的最优解
定理4对偶定理（强对偶性）： 若一对对偶问题P和D都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。 推论（网若P和D的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等 综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现： ①都有最优解，分别设为X*和Y,则必有CX=Yb; ② 一个问题无界，则另一个问题无可行解 ③两个都无可行解。 定理5互补松弛定理 设X*和Y*分别是问题P和D的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是 同时成立，其中XS,YS为剩余变量。 受时肉阳 ,若原问题的某一约束是某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是 2.3对偶问项的经烹解强 影子价格 定义：在一对P和D中，若P的某个约束条件的右端项常数b增加一个单位时，所引起的目标函数 最优值Z*的改变量y1称为第1个约束条件的影子价格，又称为边际价格。 影子价格， ·是一个向量，它的分量表示最优目标值随相应资源数量变化的变化 率。 影子价格的经济含义 影子价格是对现有资源实现最大效益时的一种估价。企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的 使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或租，若租费高于某设备的影 子价格 可考虑出 该设备，否则不 宜出租 是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的 影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。 (②)影子价格表明资源增加对总效益产生的影响， ,影子价格反映了不同的局部或个体的增量可以获 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力，考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入 手。这样可以用较少的局部努力，获得较大的整体效益。 需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格发 生变化。另外，影子价格的经济含义(2)，是指资源在一定范围内增加时的情况，当某种资源的增 加超过了这个”一定的范围时，总利润的增加量则不是按照影子价格给出的数值线性地增加。这个问 题还将在灵敏度分析一节中讨论。 2.4灵敏度分析 灵敏度分析，是指对系统或事物因周围条件变化所表现出的敏感性程度的分析。 在前面讲的线性规划问题中， 但实际上这些参数 都是 些估计或预测的数字。 常都是假定间题中的a,b1,c系数是已知的常数， ,©值就会发生变化如果工艺技术条件 改变，则就会变化；如果资源的可用量发生变化，则bi也会发生变化。因此就必然会提出这样的问 题，即当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的最优解会有什么变化，或者说，当这参数在 个多大的范围内变化时问题的最优解才会保持不变。这就是灵敏度分析所要研究解决的问题。 如果线性规划问题中的一个或几个参数变化时，完全可以用单纯形法从头计算，看最优解有无变 化，但这样做既麻烦又没有必要。因为由单纯形的迭代过程我们知道，线性规划的求解是从一组基 向最变换为另一组基向量，其中每步迭代得到的数字只随着基向量的不同选择而有所改变，因此完 全有可能把个别参数的变化直接在获得最优解的 单纯形表上反映出来。这样就不需 算，而只需对获得最优解的单纯形表进行审查，看一些数字变化后是否仍满足最优解的条件，如果 不满足的话，再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解即可。这也就是灵敏度分析
定理4 对偶定理（强对偶性）： 若一对对偶问题 P 和 D 都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。 推论⑷ 若 P 和 D 的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等。 综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现： ① 都有最优解，分别设为X* 和 Y*，则必有CX* =Y*b； ② 一个问题无界，则另一个问题无可行解； ③ 两个都无可行解。 定理5 互补松弛定理： 设X*和Y*分别是问题 P 和 D 的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是 同时成立，其中XS，YS为剩余变量。 一般而言，我们把某一可行点（如X*和Y* ）处的严格不等式约束（包括对变量的非负约束）称为松 约束，而把严格等式约束称为紧约束。所以有如下推论： 设一对对偶问题都有可行解，若原问题的某一约束是某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是 其对偶问题最优解的紧约束。 2.3 对偶问题的经济解释——影子价格 定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常数bi 增加一个单位时，所引起的目标函数 最优值Z* 的改变量y*i 称为第 i 个约束条件的影子价格，又称为边际价格。 影子价格 —— 是一个向量，它的分量表示最优目标值随相应资源数量变化的变化 率。 影子价格的经济含义 影子价格是对现有资源实现最大效益时的一种估价。企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的 使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租 该设备，否则不宜出租。第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的 影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。 （2） 影子价格表明资源增加对总效益产生的影响。影子价格反映了不同的局部或个体的增量可以获 得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力，考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入 手。这样可以用较少的局部努力，获得较大的整体效益。 需要指出，影子价格不是固定不变的，当约束条件、产品利润等发生变化时，有可能使影子价格发 生变化。另外，影子价格的经济含义（2），是指资源在一定范围内增加时的情况，当某种资源的增 加超过了这个“一定的范围”时，总利润的增加量则不是按照影子价格给出的数值线性地增加。这个问 题还将在灵敏度分析一节中讨论。 2.4 灵敏度分析 灵敏度分析，是指对系统或事物因周围条件变化所表现出的敏感性程度的分析。 在前面讲的线性规划问题中，通常都是假定问题中的aij,bi,cj系数是已知的常数，但实际上这些参数 都是一些估计或预测的数字。在现实中，如果市场条件变化，cj值就会发生变化；如果工艺技术条件 改变，则aij就会变化；如果资源的可用量发生变化，则bi也会发生变化。因此就必然会提出这样的问 题，即当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的最优解会有什么变化，或者说，当这参数在 一个多大的范围内变化时问题的最优解才会保持不变。这就是灵敏度分析所要研究解决的问题。 如果线性规划问题中的一个或几个参数变化时，完全可以用单纯形法从头计算，看最优解有无变 化，但这样做既麻烦又没有必要。因为由单纯形的迭代过程我们知道，线性规划的求解是从一组基 向最变换为另一组基向量，其中每步迭代得到的数字只随着基向量的不同选择而有所改变，因此完 全有可能把个别参数的变化直接在获得最优解的最终单纯形表上反映出来。这样就不需要从头计 算，而只需对获得最优解的单纯形表进行审查，看一些数字变化后是否仍满足最优解的条件，如果 不满足的话，再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解即可。这也就是灵敏度分析
在这里，仅介绍目标函数系数和资源约束的灵敏度分析！ (一)目标函数系数的灵敔度分析 分两种情况进行分析：(1)单个系数发生变化； (2)多个系数同时发生变化. 目标系数代表对未来收益情况（不可控环境因素）的预期，相应的灵敏度分析是考察环境的不确定 性或变化对最优解有什么影响。 具体例子见第2章PPT第27-34页， 多个目标函数系数同时变化时最优性分析 目标函数系数同时变动的百分之百法则：如果目标函数的系数同时变动，计算出每一系数变动量占 该系数最优域允许变动量（增加或减少）的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的 和不超过百分之一百，最优解不会改变，如果超过百分之一百，则不能确定最优解是否改变。 百分之百法则的重要作用：(1)可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标函数系数的变动范 围；(2)百分百法则通过将允许的增加或减少值在各个系数之间分摊，从而可以直接显示出每个系 数的允许变动值： (3)线性规划研究结束以后，如果将来条件变化，致使目标函数中一部分或所有 系数都发生变动，百分百法则可以直接表明最初最优解是否保持不变。 (二)约束资源的灵敏度分析右端项的影子价格分析 分析函数约束右端值变动的原因也是不能得到模型的参数的精确值，只能对其作大略的估计。因此 要知道万一这些估计不准确产生的后果。更主要的理由是因为这些常数往往不是由外界决定的而是 管理层的政策决策。 在律植求解后 ,管理者想要知道如果改变这些决策是否会提高最终收益。影 子价格分析就是为管理者提供这方面的信息。 多个约束同时变化时影子价格分析 约束右端值同时变动的百分之百法则(The100 percent rule for simultaneous changes in right--hand sde):同时改变几个或所有函数约束的右端值，如果这些变动的幅度不大，那么可以用影子价格预 测变动产生的影响 判别这些变动的幅度是否允许 计算每 变动占可行 所允许的增加值或 减少值的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么影子价格还是有效的，如果所有的百分 比之知超过100%，那就无法确定叠影子价格是否有效 注意 (1)当允许增加（减少）的量为无穷大时，则对任意增加（减少）的量，其允许增减（减少）的百 分比均看作0 (2)百分百法测是充分条件，非必要条件 (3)该法则不能应用于目标函数系数和约束条件右边常数值同时变化的情况，此时需要重新计算。 第3章运输问题 3.1运输问题的数学模型 (一)问题的提出 一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每 个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小 的方案。 运输、指派和转运问题，实际上都可以用LP模型加以描述，所以可以认为它们是LP的特例。单列 一章的原因在于：应用面极广，实践性很强，而特有的数学结构使得人们设计出了特别有效的方法 对此类模型进行求解。 本音的重点在：堂握表格化方法求解云输问题 (一)经曲运输问题 -单一品种物资的运输调度问题 具体例子及模型见第3章PPT第5-10页。 运输问题的一般提法：某种物资有若干产地和销地，现在需要把这种物资从各个产地运到各个销 地，产量总数等于销量总数。已知各产地的产量和各销地的销量以及各产地到各销地的单位运价
在这里，仅介绍目标函数系数和资源约束的灵敏度分析。 （一）目标函数系数的灵敏度分析 分两种情况进行分析：（1）单个系数发生变化；（2）多个系数同时发生变化. 目标系数代表对未来收益情况（不可控环境因素）的预期，相应的灵敏度分析是考察环境的不确定 性或变化对最优解有什么影响。 具体例子见第2章PPT第27-34页。 多个目标函数系数同时变化时最优性分析 目标函数系数同时变动的百分之百法则：如果目标函数的系数同时变动，计算出每一系数变动量占 该系数最优域允许变动量(增加或减少)的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的 和不超过百分之一百，最优解不会改变，如果超过百分之一百，则不能确定最优解是否改变。 百分之百法则的重要作用：（1）可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标函 数系数的变动范 围；（2）百分百法则通过将允许的增加或减少值在各个系 数之间分摊，从而可以直接显示出每个系 数的允许变动值；（3）线性规划研究结束以后，如果将来条件变化，致使目标函数中一部分或所有 系数都发生变动，百分百法则可以直接表明最初最优解是否保持不变。 （二）约束资源的灵敏度分析/右端项的影子价格分析 分析函数约束右端值变动的原因也是不能得到模型的参数的精确值，只能对其作大略的估计。因此 要知道万一这些估计不准确产生的后果。更主要的理由是因为这些常数往往不是由外界决定的而是 管理层的政策决策。在建模并求解后，管理者想要知道如果改变这些决策是否会提高最终收益。影 子价格分析就是为管理者提供这方面的信息。 多个约束同时变化时影子价格分析 约束右端值同时变动的百分之百法则(The 100 percent rule for simultaneous changes in right-hand side)：同时改变几个或所有函数约束的右端值，如果这些变动的幅度不大，那么可以用影子价格预 测变动产生的影响。为了判别这些变动的幅度是否允许，计算每一变动占可行域所允许的增加值或 减少值的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么影子价格还是有效的，如果所有的百分 比之和超过100% ，那就无法确定影子价格是否有效。 注意： （1）当允许增加（减少）的量为无穷大时，则对任意增加（减少）的量，其允许增减（减少）的百 分比均看作0； （2）百分百法则是充分条件，非必要条件； （3）该法则不能应用于目标函数系数和约束条件右边常数值同时变化的情况，此时需要重新计算。 第3章 运输问题 3.1 运输问题的数学模型 （一）问题的提出 一般的运输问题就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地的供应量与每 个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总的运输费用最小 的方案。 运输、指派和转运问题，实际上都可以用 LP 模型加以描述，所以可以认为它们是 LP 的特例。单列 一章的原因在于：应用面极广，实践性很强，而特有的数学结构使得人们设计出了特别有效的方法 对此类模型进行求解。 本章的重点在：掌握表格化方法求解运输问题。 （二）经典运输问题——单一品种物资的运输调度问题 具体例子及模型见第3章PPT第5-10页。 运输问题的一般提法： 某种物资有若干产地和销地，现在需要把这种物资从各个产地运到各个销 地，产量总数等于销量总数。已知各产地的产量和各销地的销量以及各产地到各销地的单位运价