第六章运输问题 在线性规划问题中，有一类特殊类型的问题一运输问题。这类问题主要研究把某种 物资从若干个产地调运到若干个销地，每个产地的供应量和每个销地的销售量及从一个 产地到一个销地的运输费用已知，要求确定一个总运费最少的方案， 6.1运输问题的线性规划模型 引例设某种物资（如粮食，棉花，煤炭等）有m个产地A1,42,,Am,产量分别为 a1,a1,am个单位：另外有n个销地B1,B2,,Bn,销量分别为b1,b1,,bn个单位。 又假设产销是平衡的，即 三- 此外，由产地A:向销地B运输每单位货物的运价为，问应该如何调运这种货物才能 使总的运费最小？ 解设为由产地A:向销地B调运这种货物的数量。连同单位运价可以列成 表6-1和表6-2. 单位运价表 表6-1 销地 B Bn 产地 4 92 21 C2n Am Cml Cm2 Cmn 平衡表 表6-2 销地 B2 产量 产地 11 工12 A2 x22 02 A 销量 02 由A,运出去的物资总量应等于A,的产量，即 xy=a,i=1,2.…m 1
✂✁✂✄ ☎✂✆✂✝✂✞ ✟✡✠✡☛✡☞✡✌✡✍✡✎✑✏, ✒✡✓✡✔✡✕✡✖✡✔✡✗✡✘✍✡✎ —- ✙✡✚✍✡✎✡✛✢✜✔ ✍✡✎✡✣✡✤✡✥✡✦✡✧✡★✡✩ ✪✬✫✬✭✬✮✬✯✬✰✬✱✬✲✬✳✙✬✴✮✬✯✬✰✬✵✬✲, ✶ ✰✬✱✬✲✘✬✷✬✸✬✹✬✺✬✶✰✬✵✬✲✘ ✵✬✻✹✬✼✭ ✓ ✰ ✱✡✲✴✡✓✰✡✵✡✲✘✡✙✡✚✡✽✡✾✑✿❁❀, ✤✡❂✡❃✡❄✓ ✰✡❅✙✡✽✡❆✡❇✡✘✡❈✡❉✛ §6.1 ❊●❋●❍●■●❏●❑●▲●▼●◆●❖◗P ❘✡❙ ❚✡★✡✩✪✡✫ (❯✡❱✡❲, ❳✡❨, ❩✡❬✡❭) ✒ m ✰✡✱✡✲ A1, A2, . . . , Am, ✱✹✡❪✡❫✡❴ a1, a1, . . . , am ✰✡❵✡❛; ❜✡❝✡✒ n ✰✡✵✡✲ B1, B2, . . . , Bn, ✵✹✡❪✡❫✡❴ b1, b1, . . . , bn ✰✡❵✡❛✛ ❞✡❡❚✱✡✵✡❢✡❣✡❤✘, ✐ Xm i=1 ai = Xn j=1 bj . ❥❝, ❦ ✱✡✲ Ai ❧✵✡✲ Bj ✙✡✚✡✶❵✡❛✡♠✡✪✘✡✙✡♥✡❴ cij ✛♦✍✸✡♣✡❯✡q✳✙ ✜✡✩♠✡✪✡r✡s t✡❅✘✡✙✡✽✡❆✡✉? ✈ ❚ xij ❴✑❦ ✱✡✲ Ai ❧✵✡✲ Bj ✳✙ ✜✡✩♠✡✪✘✡✇✡✹, ①✡②❵✡❛✙✡♥ cij ③✡④✡⑤✡⑥ ⑦ 6-1 ✺⑦ 6-2✛ ❵✡❛✙✡♥⑦ ⑦ 6–1 ✵✡✲ B1 B2 . . . Bn ✱✡✲ A1 c11 c12 . . . c1n A2 c21 c22 . . . c2n . . . . . . . . . . . . . . . Am cm1 cm2 . . . cmn ❣✡❤✡⑦ ⑦ 6–2 ✵✡✲ B1 B2 . . . Bn ✱✹ ✱✡✲ A1 x11 x12 . . . x1n a1 A2 x21 x22 . . . x2n a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Am xm1 xm2 . . . xmn am ✵✹ b1 b2 . . . bn ❦ Ai ✙✡⑧✡⑨✡✘✪✡✫✡❅✹✡✸✡❭✡⑩ Ai ✘✱✹, ✐ Xn j=1 xij = ai ,i = 1, 2, . . . , m. 1
2 第六章运输问题 同理，运进B的物资总量应等于B影的销量，即 =5-12n 在表6-2中，这两组等式为第i行的未知数1，x2,,工m的和等于这一行右端的 a4:而第j列的未知数1,2，，xm的和等于这一列底下的b。 从表6-1和表6-2中还可以看出，总的运费等于 因此我们可以把上面的问题归纳为如下线性规划问题： min = (6.1) 满足 (6.2) (6.3) x≥0，（∑a-∑） 6.4) i=1 j=1 这就是运输问题的数学模型.除了经常遇到的物资调运问题外，在其它活动中会遇到 类似的问题。由于这类问题最早是从物资运输问题产生出来的，因此把具有(6.1以、(6.2)、 (6.3)和(6.4)形式的线性规划问题都叫做运输问题。 例如，设有m台机床，要加工n种零件.第i台机床可加工出a4种零件（= 1,2.,m:而第j种零件必须有个G=1,2.,,且 - =1 为第i台机床加工种零件时每一件的加工费问这些零件应如何分配给这m台机 床使总的加工费为最小？ 显然，当设为第1台机床加工第j种零件的个数时，就转化为一个运输问题. 运输问题显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解，但这个问题具有一种 固定结构，使我们可以找到另外比较简单的解法。本章介绍表上作业法. S6.2初始基本可行解的求法 既然运输问题是一种线性规划问题，所以运输问题的最优解一定可以在基本可行解 中找到。当找到初始基本可行解以后，要判别是否为最优解.不是最优解时就要进行调整
2 ❶✑❷❁❸❺❹✡❻✑❼❁❽ ②✡❾, ✙✡❿ Bj ✘✪✡✫✡❅✹✡✸✡❭✡⑩ Bj ✘ ✵✹, ✐ Xm i=1 xij = bj , j = 1, 2, . . . , n. ✟⑦ 6–2 ✏ , ✜✬➀✬➁❭✬➂✬❴✬➃ i ➄✬✘✬➅✬❀✬✇ xi1, xi2, . . . , xin ✘✬✺✬❭✬⑩✜ ✓✬➄✬➆✬➇✬✘ ai ; ➈✡➃ j ⑤✘✡➅✡❀✡✇ x1j , x2j , . . . , xmj ✘✡✺✡❭✡⑩✜ ✓⑤✡➉✡➊✘ bj ✛ ✭✡⑦ 6–1 ✺⑦ 6–2 ✏❁➋③✡④✡➌⑧, ❅ ✘✡✙✡✽✡❭✡⑩ z = Xm i=1 Xn j=1 cijxij . ➍❥✡➎✡➏③✡④ ✧✡➐✡➑✘ ✍✡✎✡➒✡➓❴✡❯➊ ✠✡☛✡☞✡✌✡✍✡✎: min z = Xm i=1 Xn j=1 cijxij (6.1) ➔✡→ Xn j=1 xij = ai ,i = 1, 2, . . . , m (6.2) Xm i=1 xij = bj , j = 1, 2, . . . , n (6.3) xij ≥ 0,( Xm i=1 ai = Xn j=1 bj ) (6.4) ✜↔➣❢✙↔✚✍↔✎✘↔✇↔↕↔➙✡✗✛➜➛↔➝✡➞↔➟✡➠✴✡✘✪↔✫✡✳✙ ✍↔✎❝, ✟↔➡↔➢↔➤↔➥➦✏➨➧↔➠✴ ✔✡➩✡✘✍✡✎✡✛ ❦❁⑩✜ ✔ ✍✡✎❆✡➫❢✡✭✡✪✡✫✙✡✚✍✡✎✱✡➭⑧✡➯✡✘, ➍❥✧✡➲✒ (6.1)➳ (6.2)➳ (6.3) ✺ (6.4) ➵✡➂✡✘✠✡☛✡☞✡✌✡✍✡✎✡➸✑➺❁➻➽➼✡➾✡➚✡➪✡✛ ➶❯, ❚ ✒ m ➹➴➘➴➷, ✤➴➬➴➮ n ✩➴➱➴✃➴✛ ➃ i ➹➴➘➴➷③ ➬➴➮⑧ ai ✩➴➱➴✃ (i = 1, 2, . . . , m); ➈✡➃ j ✩✡➱✡✃✡❐✡❒✒ bj ✰ (j = 1, 2, . . . , n), ❮ Xm i=1 ai = Xn j=1 bi cij ❴✬➃ i ➹✬➘✬➷➬✬➮ j ✩✬➱✬✃✬❰✶✬✓✃ ✘➬✬➮✽ ✛♦✍✬✜✬Ï✬➱✬✃✸✬❯✬q✬❪✬Ð✬Ñ✜ m ➹✬➘ ➷, t✡❅✘➬✡➮✽✡❴✡❆✡✉? Ò✡Ó, Ô❚ xij ❴✡➃ i ➹✡➘✡➷➬✡➮➃ j ✩✡➱✡✃✘✰✇ ❰ , ➣✡Õ✡Ö❴✡✓✰✙✡✚✍✡✎✡✛ ✙↔✚✍↔✎Ò↔Ó❢ ✓ ✰✠↔☛✡☞↔✌✡✍↔✎, ÔÓ ③↔④ ✾❵↔×➵↔Ø❂↔Ù↔✛ÛÚ✡✜✰✍✡✎↔➲✒↔✓✩ Ü❄✡Ý✡Þ, t✡➎✡➏③✡④✡ß✴✡❜✡❝✑à❁á✡â❵ ✘Ù Ø ✛♦ã✡ä✡å✡æ⑦➐✡ç✡èØ ✛ §6.2 é●ê●ë●ì●í●î●ï●❏●ð●ñ òÓ✙✬✚✍✬✎❢ ✓ ✩✬✠✬☛✬☞✬✌✬✍✬✎, ó④ ✙✬✚✍✬✎✘✬❆✬ôÙ ✓ ❄③✬④ ✟✬õ✬ã③➄ Ù ✏ß✴ ✛ Ôß✴↔ö↔÷õ↔ã③➄ Ù ④✡ø, ✤↔ù❫❢↔ú❴↔❆↔ôÙ↔✛Ûû❢ ❆↔ôÙ↔❰✡➣✡✤❿✡➄✳✡ü
$6.2初始基本可行解的求在 3 这线性规下去，划到找到最优解时为何·下面题来研究运输问意的基本可行解具有的特 运输同圆有口十个约有二件类含Xm个快的.在运输线题的 这型时，一般都假设约方程中要有多的方程，但在产销平衔的运输问题的约方程组 然 中甘系数 的方程。可以应量在n+m 个基的量组成。 费组成一个基h.=n十m-?这用题把闭回定的台最然 后介绍有关定理。 定义凡是能够排列成下列形式的的量集合称为一个闭回定： (6.5) 中s=n+m-1,i1,2,,i,的不产同，九，2，j。的下产同。这些出现在(6.)中的 量称为这个闭回路的顶点。 1三4月就是个且把产邻两个的2 划线为闭回路的 上单闭回路就 具有表6-3所示的形另. 表6-3 销地 产地 11 12 13T14 21 2 F24 A3 又如12,13,2322,12和1112,2,34,24,211调是闭回路.把外们画在表上 分别如表6-4和表6-5所示。 表6-4 销地 3 3 产地 A 14 2 A3 工31 T32 T33 工34
§6.2 ý✡þ✡ÿ✁✁✂✁✄✁☎✝✆✁✞✁✟ 3 ✜✡✠✡☛✡☞➊⑨, ✌✬✴ß✴✬❆✬ôÙ✬❰❴✡✍✛ ➊ ➑✏✎➯✥✬✦✙✬✚✍✬✎✘õ✬ã③➄ Ù✬➲✒✬✘✕ ☛✡✛ ✙✡✚✍✡✎✒ n + m ✰✁✑✁✒✁✓✃ , ✔✁✕ n × m ✰✁✖✁✗✁✘✹ ✛♦✟✁✙✁✚✡✠✡☛✡☞✬✌✡✍✬✎✘✡✛ ✜ ✗❰ , ✓✁✢➸❡❚✑✁✒❈✁✣ ✏✥✤✒✁✦✁✧✡✘✡❈✁✣, Ú✡✟✱✡✵✡❣✡❤✘✡✙✡✚✍✡✎✘✑✁✒❈✁✣➁ ✏ , ➡✁★✇✁✩✁✪✡✘✁✫ m ➄✡✘✡✺✁✬✡⑨ø n ➄✡✘✡✺✁✭✁✮✁✯✡✴✡✓✰ 0 ❧✹ ✛ ➍❥✁✑✁✒❈✁✣ ✏✥★ ✇✰✩✰✪↔✘↔➄❢✠↔☛✰✱✰✲✘ ✛✴✳↔➣❢✰✵, ✑✰✒❈✰✣➁➦✏✷✶↔✟✦✰✧↔✘✡❈✰✣✛ ③✡④✰✸✝✹, ✟ n + m ✑✰✒❈✰✣✏✘✰✺✰✻ n + m − 1 ✰➸❢✠↔☛✰✼✰✲✘, ✭ ➈↔✙↔✚✍↔✎✘↔✶↔✓➁↔õ✸✑❦ n + m − 1 ✰õ✘ ✹ ➁ ⑥ ✛ ✽✠✡➁⑥✓ ✰õ :xi1j1 , xi2j2 , . . . , xisjs (s = n + m − 1)? ✜✁✾✁✎✁✿✁❀❂❁✁❃✁❄ ✘✁❅✁❆, Ó øå✡æ✒✲✡❄❾ ✛ ❇✁❈ ❉❢✡s✁❊✁❋⑤✡⑥✡➊✡⑤➵✡➂✡✘✘ ✹✁●✁❍✁■✡❴✡✓✰ ❁✁❃✁❄: xi1j1 , xi1j2 , xi2j2 , xi2j3 , . . . , xisjs , xisj1 (6.5) ➡✑✏ s = n + m − 1,i1,i2, . . . ,is ❏ û✁✱②, j1, j2, . . . , js ❏ û✁✱② ✛♦✜✡Ï⑧✁❑✟ (6.5) ✏✘ ✘ ✹✁■✡❴✜✰✁▲✝▼✥◆✘P❖✁◗✛ ➶❯, m = 3,n = 4, ❘ x21,x23,x13,x14,x34,x31 ➣❢ ✓ ✰✏▲❙▼❚◆✛ ✜✏✾ i1 = 2,i2 = 1,i3 = 3;j1 = 1,j2 = 3,j3 = 4✛ ✮✧▲✝▼✥◆✘✁❯✁❱✟⑦ ✏✥❲⑧, ❳✡❮✧✁✱✁❨✡➀✰✁✘✹ (④ ✼ ❆ø✓ ✰✰✘✹✰❩↔➃↔✓✰✰✘✹) ✾✰✌✠✰✱① (■ ✜↔Ï✌ ✠ ❴ ▲❬▼✷◆✘✰❭)✛❫❪✁❴↔➐✁❵▲✝▼✷◆➣ ➲ ✒⑦ 6–3 ó✁❛✡✘✡➵✁❜✛ ⑦ 6–3 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✡✲ A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34 ❞ ❯ x12,x13,x23,x22,x12 ✺ x11,x12,x32,x34, x24,x21,x11 ✳❢✁▲✝▼✥◆✛✢✧✁❝➏❲✡✟⑦➐ ❪✡❫✡❯⑦ 6–4 ✺⑦ 6–5 ó✁❛✛ ⑦ 6–4 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✡✲ A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34
第六章运输问题 表6-5 销地 B 产地 A 11 T12 13 14 42 T21 22 T23 工24 A3 31 32 34 定理1.n十m-1个变量，，，.(s=n+m一1)构成基本可行解的充 要条件是它不含闭回路。（证略） 有了上述准备，下面介绍常用的几种运输问题的初始基本可行解的求法. 一、西北角法 下面通过例题介绍这个方法.运价表和平衡表合并在一个表中，单位运价，写在左 下角，x)写在右上角. 例1.根据表6-6，求初始基本可行解 表6-6 销地 B B B 产量 产地 12 f18 14 0 10 工22 T23 4 1 3 4 2 5 T31 工33 A3 4 销量 3 8 4 6 解最下一行各数字之和与最右一列各数字之和都为21，满足平衡条件.从左上角的 变量11开始，先给x1以尽可能大的值，为此令 x11=max{3,9}=3. 由x11=3可以看出，21和x31必须为0，即已经知道了3个未知量的值.通常，先画 好一张空表格，把求出的未知数的值填在表上。我们约定，在3的外面画一个圈，在0的 地方打上“×”.然后再决定12的值（即表中未求出值的左上角的变量）.取有： 12=mim9-3,8}=6. 在x12的位置上填上6并画圈，x1314这时应为0，故打上“×”.用同样的方法，可以得 出：z22=2,T32=0,23=324=0,33=1,x34=6(见表6-7)
4 ❶✑❷❁❸❺❹✡❻✑❼❁❽ ⑦ 6–5 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✡✲ A1 x11 x12 x13 x14 A2 x21 x22 x23 x24 A3 x31 x32 x33 x34 ❇✁❞ 1. n + m − 1 ✰✁✘✹ xi1j1 , xi2j2 , . . . , xisjs (s = n + m − 1) Þ⑥õ✡ã③➄ Ù ✘✁❡ ✤✓✃❢➢✡û✕ ▲✝▼✥◆✛ (✸✁❢) ✒ ➝✡➐✁❵✁✜✁❣, ➊ ➑✡å✡æ✡➟✾✡✘✁❤✩✙✡✚✍✡✎✘✡ö✡÷õ✡ã③➄ Ù ✘❂Ø ✛ ✐❦❥♠❧❦♥❦♦❦♣ ➊ ➑✁q✁r➶✎✡å✡æ✡✜✰❈✡Ø✛ ✙✡♥⑦ ✺❣✡❤✡⑦❍✁❳✟✓ ✰✡⑦ ✏ , ❵✡❛✙✡♥ cij s✟✁t ➊✁✉, xij s✟➆ ➐ ✉ ✛ ❙ 1. ✈✁✇⑦ 6–6, ❂ ö✡÷õ✡ã③➄ Ù✡✛ ⑦ 6–6 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✹ ✱✡✲ x11 x12 x13 x14 A1 2 9 10 7 9 x21 x22 x23 x24 A2 1 3 4 2 5 x31 x32 x33 x34 A3 8 4 2 5 7 ✵✹ 3 8 4 6 ✈ : ❆➊✓✡➄✁①✡✇✁②✁③✡✺✁❩✡❆✡➆✡✓⑤①✡✇✁②✁③✡✺➸ ❴ 21, ➔✡→✡❣✡❤✁✓✃✡✛ ✭t✡➐✉✘ ✘ ✹ x11 ④÷, ✎Ñ x11 ④✁⑤✡③s✁⑥✘✁⑦, ❴❥✁⑧ x11 = max{3, 9} = 3. ❦ x11 = 3 ③↔④↔➌⑧, x21 ✺ x31 ❐↔❒❴ 0, ✐➦✿➞ ❀✰⑨➝ 3 ✰ ➅↔❀↔✹↔✘✰⑦✛✴q↔➟, ✎✰❲ ✮✬✓✡⑩✡❶⑦✡❷, ✧✬❂⑧✬✘✬➅✬❀✬✇✬✘✡⑦✡❸✟⑦➐✬✛ ➎✬➏✡✑❄ , ✟ 3 ✘✬❝➑✡❲✓ ✰✡❹, ✟ 0 ✘ ✲❈✁❺➐ “×”✛ Ó ø✁❻✖❄ x12 ✘✁⑦ (✐⑦ ✏➅ ❂ ⑧ xij ⑦✡✘t✡➐✉✘✘ ✹)✛❽❼✒: x12 = min{9 − 3, 8} = 6. ✟ x12 ✘❛✡❾➐❸ ➐ 6 ❳ ❲❹ , x13,x14 ✜✬❰✸✬❴ 0, ❿✡❺➐ “×”✛ ✾✬②✠ ✘✬❈✬Ø, ③✬④ ✯ ⑧:x22 = 2,x32 = 0,x23 = 3, x24 = 0,x33 = 1, x34 = 6(➀⑦ 6–7)✛
$6.2初始基本可行解的求法 表6-7 销地 B2 B 产量 产地 (3) (6 Al 2 9 10 9 ② (3) A42 1 3 ( (6) 3 8 4 6 不难看出，放在表上的数(“×”代表0)是一个可行解此外画图的数共有n+m-1 各，并且可以证明，用这种方法求得的解是一个基本可行解.而且n+m一1个画图的地 方正好是基变量 例2.根据表6-8，求初始基本可行解 表6-8 销地 B B Bs B 产量 产地 工12 工13 14 A Q 21 22 2 21 A2 2 6 5 3 5 T31 工32 3 A3 1 4 8 销量 2 1 7 6 解首先，应该取x11=2,21=0,x31=0.然后，令x12=mi{3-2,1}=1.这时 显然x13,工14,2及2都必须为0.但我们只在一个方向上打“×”（在行上，或在列上）】 而不能同时在行与列上都打“×”.例如，我们在行上“×”，然后决定2的值，它应等于 mi血0,5}=0，此时在x2处写上0，并画上圈.而在x32处打上“×"，继续做下去，可以得 到x23=5,24=0,z33=2,x34=6(见表6-9)
§6.2 ý✡þ✡ÿ✁✁✂✁✄✁☎✝✆✁✞✁✟ 5 ⑦ 6-7 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✹ ✱✡✲ (3) (6) × × A1 2 9 10 7 9 × (2) (3) × A2 1 3 4 2 5 × × (1) (6) A3 8 4 2 5 7 ✵✹ 3 8 4 6 û✁➁➌⑧, ➂ ✟⑦➐ ✘✡✇ (“×” ➃⑦ 0) ❢ ✓ ✰ ③➄ Ù . ❥❝, ❲❹ ✘✡✇✁➄✡✒ n + m − 1 ①✁➅❽❳✡❮③✡④✁✸✝✹, ✾✜✡✩❈✡Ø❂ ✯✡✘Ù❢ ✓ ✰õ✬ã③➄ Ù , ➈✡❮ n + m − 1 ✰❲❹ ✘✲ ❈✁➆✁✮❢õ✘ ✹ ✛ ❙ 2. ✈✁✇⑦ 6–8, ❂ ö✡÷õ✡ã③➄ Ù✡✛ ⑦ 6–8 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✹ ✱✡✲ x11 x12 x13 x14 A1 7 8 1 4 3 x21 x22 x23 x24 A2 2 6 5 3 5 x31 x32 x33 x34 A3 1 4 2 7 8 ✵✹ 2 1 7 6 ✈ : ➇ ✎ , ✸✬♣❼ x11 = 2,x21 = 0,x31 = 0✛ Ó ø, ⑧ x12 = min{3 − 2, 1} = 1✛♦✜✬❰, Ò✬Ó x13,x14,x22 ✼ x32 ➸✬❐✬❒❴ 0✛ Ú➎✬➏✡➈✟✓ ✰❈ ❧➐❺ “×”(✟➄ ➐ , ➉ ✟ ⑤➐ ), ➈ ûs ②❰✬✟➄✡❩⑤➐✬➸❺ “×”✛ ➶❯, ➎✬➏✟➄ ➐ “×”, Ó ø✖❄ x22 ✘✡⑦, ➢✸✬❭✬⑩ min{0, 5} = 0, ❥❰✡✟ x22 ➊✁s➐ 0, ❳ ❲✡➐❹✛ ➈ ✟ x32 ➊❺ ➐ “×”, ☛✁☞✡➻➊⑨, ③✡④ ✯ ✴ x23 = 5,x24 = 0,x33 = 2,x34 = 6(➀⑦ 6–9)✛
6 第六章取 值69 销地 B2 B 产明 产地 A 7 8 1 4 3 (5) × 3 (2) (6) 7 8 销明 2 1 7 6 法 2处写上0并画上圈目 经说过，面圈地方正好是基变斋变 使带圈个据保持为n+m一1个.因为前面已 变明必须是n+m一1个 从以上本例子可以看金西北角法本一般步骤为： 1先决定左上角变明本值，令这个变明取尽可大李值，并去这个位置上所填布据字 外面画上圈： 2.法填据格子所法 列寄上打灯 共上打 “x"; 授有摸据及打×”变地方重复上述步便新利余空格坐左上角堂明证取心则 证写上0并画园。 二、最小元素法 用西北角法求初始基本可共解时没有涉及，好将，亦值考感进去常可使得基 本可共解对证变目标函据值 变值小些，比较靠近最优解，从具减少选代次据。 地方同时达到最小粤可任取一个 正高黑之山 值，这里2 =2,c =2都是最小值故可任取一个例如，令 微新
6 ❶✑❷❁❸❺❹✡❻✑❼❁❽ ⑦ 6–9 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✹ ✱✡✲ (2) (1) × × A1 7 8 1 4 3 × (0) (5) × A2 2 6 5 3 5 × × (2) (6) A3 1 4 2 7 8 ✵✹ 2 1 7 6 ✟ x22 ➊✁s➐ 0 ❳ ❲✡➐❹ ✘➌➋ ✘❢✡t✁➍✁❹✘✰✇✡➎✁➏✬❴ n + m − 1 ✰✛ ➍❴✁✫➑ ✿ ➞✵r , ❲❹ ✘✲❈✁➆✁✮❢õ✘ ✹ ✛ ➈õ✘ ✹ ❐✡❒❢ n + m − 1 ✰✛ ✭ ④ ➐ ✘ ➶✁➐③✡④✡➌⑧, ➑✁➒✉Ø✡✘✡✓✁✢✁➓✁➔✡❴: 1. ✎✖❄✁t✡➐✉✘ ✹✡✘✁⑦, ⑧✜✰✁✘✹ ❼ ⑤✡③s✁⑥✘✁⑦, ❳ ✟✡✜✰✡❛✁❾➐ó✁❸✡✘✡✇✁② ❝ ➑✁❲✡➐❹ ; 2. ✟❸✡✇✡✘❷✁➐ó ✟ ✘✡➄✁➉⑤✘✡✸✡♣✡❴ 0 ✘❷✁➐➐❺ “×”✛ ✮ ➄✡✺⑤➸✸✡♣❼ 0, ❘ ✟➄ ➐❺ ➝ “×” ④✡ø, ➣✡ûs✟ ⑤➐❺ “×”; →✁③✟ ⑤➐❺ ➝ “×” ④✡ø, ➣✡ûs✟➄ ➐❺ “×”; 3. ➣ ✤ ✒✁❸✡✇✡✼✁❺ “×” ✘✲❈✁↔✁↕➐✁❵➓✁➔, ✮✁➙✧✁❶❷ ✘t✡➐✉✘✘ ✹✡✸❼ 0, ❘ ✸s➐ 0 ❳ ❲❹✛ ➛❥♠➜❦➝❦➞❦➟➠♣ ✾✁➑✁➒✉Ø ❂ ö✡÷õ✡ã③➄ Ù✡❰✁✤✒✁➡✡✼ cij , ✮✡s✁➢ cij ✘✁⑦✁➤✁➥✡❿✡⑨, ➟③ t ✯õ ã ③➄ Ù ➣✡✸✡✘➌➋➦✛✁➧✡✇✁⑦ z = Xm i=1 Xn j=1 cijxij ✘✁⑦✡✉Ï , à❁á✁➨✁➩✡❆✡ôÙ , ✭ ➈✁✬✡❇✁➫✁➃✁➭✡✇✛ ➯ ④ ➶ 1 ❴ ➶✛ ❆↔✉✰➲✰➳↔Øû❢↔✭ x11 ④÷, ➈❢↔✭ cij ⑦↔❆↔✉↔✘✰❶❷ ④÷ (✮ ✒✰❤✰ ✲❈↔②❰✰➵✴↔❆↔✉, ❘③✺❼ ✓ ✰ )✛➜✟➶ 1 ✏ ,c21 = 1 ❆↔✉, ❿ ➎↔➏✎↔❄ x21 ✘✰⑦✛ ❩✰➑✰➒ ✉✓ ✠ , Ñ x21 ⑤✡③s✁⑥✘✁⑦, ✐⑧ x21 = min{3, 5} = 3, ✟ x21 ➊❸ ➐ 3 ❳ ❲❹ , Ó ø✟ x11,x31 ➊❺ ➐ “×”✛Û✟↔➻✰➸↔➐✓✰➓ø, ✟✰✤✒✰❸↔✇↔✺✰❺ “×” ✘✰❶❷❬➺❻↔ß✓ ✰ cij ✘↔❆↔✉ ⑦, ✜✁✾ c24 = 2,c33 = 2 ➸❢ ❆✡✉✁⑦, ❿③✺❼ ✓ ✰✛ ➶❯❼ c33, ⑧ x33 = min{4, 7} = 4, ❸ ➐ 4 ❳ ❲❹✛ ✾✡②✠ ✘✡❈✡Ø③✯ x24 = 2, x32 = 3,x14 = 4,x12 = 5, ➡✧✡✘✲❈ ➸✸✡♣✁❺ “×”✛♦✜✡➣❢ ö✡÷õ✡ã③➄ Ù , ❲❹ ✘✲❈✡❴õ✘ ✹, ❯⑦ 6–10✛
$6.2初始基本可行解的求在 7 表6-10 销地 B2 产量 产地 (5 (4) Al 2 9 10 2 9 3) A2 1 3 2 5 3) (4) 5 销量 3 8 4 6 我们分别 一下上面例1中用西北角法和用最小元素法求得的基本可行解的目 21=2×3+9×6+3×2+4×3+2×1+5×6=110 22=1×3+9×5+4×3+2×4+7×4+2×2=100 由此可见由最小元素法求得的初始基本可行解要好些 用最小元素法时，也会遇到前面例2中行和列都可打“×”的情祝，这时我们仍需采用 与前面一样的方法下理. 最后，我们再出一点。用最小元素法时如果丽剩下一行或一列未填数和未打“× 的格上时，而这填缓不这打“×”，这样做的目的是为T我应画圈的个数为n+m-1个 例3解数表6-1山，用最小元素法求初始基本可行解 表-11 销地 B 产量 产地 T12 x13 A 1 2 1 22 23 A2 3 3 I32 3 销量1 2 4 解先出 在下打X简再出=2在1下打:最后出 =4,这时还未填数的格上剩下一行，能能成1=0，如=0，并面上图，从而得到 表6-12所示的初始基本可行解
§6.2 ý✡þ✡ÿ✁✁✂✁✄✁☎✝✆✁✞✁✟ 7 ⑦ 6–10 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✹ ✱✡✲ × (5) × (4) A1 2 9 10 7 9 (3) × × (2) A2 1 3 4 2 5 × (3) (4) × A3 8 4 2 5 7 ✵✹ 3 8 4 6 ➎✡➏❪✡❫✁➻✁➼✡✓➊ ➐✡➑➶ 1 ✏✾✁➑✁➒✉Ø✡✺✡✾✡❆✡✉✁➲✁➳✡Ø❂ ✯✡✘õ✡ã③➄ Ù ✘➌➋➦✛ ➧✡✇✁⑦ z1 ✺ z2: z1 = 2 × 3 + 9 × 6 + 3 × 2 + 4 × 3 + 2 × 1 + 5 × 6 = 110 z2 = 1 × 3 + 9 × 5 + 4 × 3 + 2 × 4 + 7 × 4 + 2 × 2 = 100 ❦ ❥③➀✑❦❁❆✡✉✁➲✁➳✡Ø❂ ✯✡✘✡ö✡÷õ✡ã③➄ Ù✡✤✮ Ï✡✛ ✾↔❆↔✉✰➲✰➳↔Ø❰ , ✳↔➧↔➠✴✰✫➑➶ 2 ✏➄↔✺⑤➸③❺ “×” ✘✰➽✰➾, ✜↔❰➎↔➏➯✰➚✰➪✾ ❩✁✫➑ ✓ ✠ ✘✡❈✡Ø➊❾ ✛ ❆ø, ➎✡➏❻✁➶⑧✡✓✁❱✛ ✾✡❆✡✉✁➲✁➳✡Ø❰ , ❯✁➹➈✁➙➊✓✡➄✁➉✡✓⑤➅✁❸✡✇✡✺✡➅✁❺ “×” ✘❷✁➐❰ , ➈✜❸✡✇, û✁✜❺ “×”✛ ✜✁✠✡➻✘➌➋ ✘❢ ❴ ➝➎✸ ❲❹ ✘✰✇✡❴ n + m − 1 ✰✛ ❙ 3. ✈✁✇⑦ 6–11, ✾✡❆✡✉✁➲✁➳✡Ø❂ ö✡÷õ✡ã③➄ Ù✡✛ ⑦ 6–11 ✵✡✲ B1 B2 B3 ✱✹ ✱✡✲ x11 x12 x13 A1 1 2 2 1 x21 x22 x23 A2 3 1 3 2 x31 x32 x33 A3 2 3 1 4 ✵✹ 1 2 4 ✈ : ✎⑧ x11 = 1, ✟ x12,x13 ➊❺ “×”; ❻ ⑧ x22 = 2, ✟ x21,x23 ➊❺ “×”; ❆ø⑧ x33 = 4, ✜✡❰✡➋➅✁❸✡✇✡✘❷✁➐✁➈✁➙➊✓✡➄, ➈✡ss✡⑥ x31 = 0,x32 = 0, ❳ ❲✡➐❹ , ✭ ➈✁✯✡✴ ⑦ 6–12 ó✁❛✡✘✡ö✡÷õ✡ã③➄ Ù✡✛
8 第六章运输问题 表6-12 销地 B B2 产量 产地 A 2 1 (2) (0の (O) (4) 销量 1 2 4 此时，若在1和x32处打“×”，那么画圈的个数只有3个，显然不是基本可行解了 三、差值法 差值法一般能够得到比用上述两种方法更好的初始基本可行解。这个方法与最小元 素法不同的地方是在需要考虑的空格中，首先计算各行各列中最小的与次小的之 间的算术差.在具有最大差值的那个行或列中，选择具有最小的，的空格来决定基变量 的值.这样，避免将运量分配到这一行或列中具有与最小的差值较大的次小的的空格 中，而使得目标函数较大.此外用最小元素法时需要注意的地方在这里仍然适用，以保证 基变量的个数为n+m-1.仍以例1为例. 表6-13 销地 B B 产量 产地 (3) A 10 7 9 A 8 4 2 5 销量 3 8 4 6 由表-13中的c可见，在第一行中，次小与最小的c之间的差为7-2=5，第 列为2-1-1，其余如表6-13所示.在所有行和列中，第一行的差值5为最大，在第一行 的c中C11=2最小，故先决定x11的值.和上述两种方法一样，给x11尽可能大的值，即 mim3,9=3.在x处填上3，并上圈.此时第一列已满足，故在1，a1处 打上“×”.在剩余的格子中，以同样的方法重复做下去，最后得出的基本可行解如表6-14 所示
8 ❶✑❷❁❸❺❹✡❻✑❼❁❽ ⑦ 6–12 ✵✡✲ B1 B2 B3 ✱✹ ✱✡✲ (1) × × A1 1 2 2 1 × (2) × A2 3 1 3 2 (0) (0) (4) A3 2 3 1 4 ✵✹ 1 2 4 ❥❰ , ✮✟ x31 ✺ x32 ➊❺ “×”, ❪✁❴✁❲❹ ✘✰✇ ➈✒ 3 ✰ , Ò✡Óû❢õ✡ã③➄ Ù✡➝. ➘❥♠➴❦➷❦♣ ➬⑦✡Ø✡✓✁✢s✁❊✯✡✴✑à✾➐✁❵✬➀✬✩❈✬Ø✡➮✁✮✬✘✬ö✡÷õ✡ã③➄ Ù✬✛♦✜✰❈✡Ø✡❩✬❆✡✉✡➲ ➳✡Øû ②✡✘✲❈ ❢✟✁➚✡✤➤✁➥✡✘✁❶❷ ✏ , ➇ ✎➻✁➼✁①✡➄✁①⑤ ✏❆✡✉✡✘ cij ❩✁➭✡✉✡✘ cij ③ ➱ ✘✁➼✁✃➬✡✛♦✟✡➲✒✡❆⑥➬⑦✡✘❪✰ ➄✁➉⑤ ✏ , ❐✁❒➲ ✒✡❆✡✉✡✘ cij ✘✁❶❷ ➯✖❄✡õ✘ ✹ ✘✁⑦✛♦✜✁✠, ❮✁❰➢✙✡✹✡❪✡Ð✡✴✜ ✓✡➄✁➉⑤ ✏❁➲✒✁❩✡❆✡✉✡✘➬⑦✡á⑥ ✘✁➭✡✉✡✘ cij ✘✁❶❷ ✏ , ➈ t ✯➌➋➦✛✁➧✡✇✡á⑥✛ ❥❝✡✾✡❆✡✉✁➲✁➳✬Ø❰✡➚✡✤✡Ï✻✡✘✲❈ ✟✡✜✡✾✁➯Ó✁Ð✾, ④ ➎✸ õ✘ ✹✡✘✰✇✡❴ n + m − 1✛❽➯④ ➶ 1 ❴ ➶✛ ⑦ 6–13 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✹ ✱✡✲ (3) A1 2 9 10 7 9 × A2 1 3 4 2 5 × A3 8 4 2 5 7 ✵✹ 3 8 4 6 ❦ ⑦ 6–13 ✏✘ cij ③➀, ✟ ➃✡✓✡➄ ✏ , ➭✡✉✁❩✡❆✡✉✡✘ cij ③ ➱ ✘➬ ❴ 7 − 2 = 5, ➃✡✓ ⑤❴ 2 − 1 = 1, ➡✧✡❯⑦ 6–13 ó✁❛✛ ✟ó✡✒✡➄✡✺⑤ ✏ , ➃✡✓✡➄✡✘➬⑦ 5 ❴✡❆⑥ , ✟ ➃✡✓✡➄ ✘ cij ✏ c11 = 2 ❆✡✉, ❿ ✎✖❄ x11 ✘✁⑦✛ ✺➐✁❵✡➀✡✩❈✡Ø✡✓✠ , Ñ x11 ⑤✡③s✁⑥✘✁⑦, ✐ ⑧ x11 = min{3, 9} = 3✛♦✟ x11 ➊❸ ➐ 3, ❳ ❲✡➐❹✛ ❥❰ ➃✡✓⑤ ✿➔✬→, ❿ ✟ x21,x31 ➊ ❺ ➐ “×”✛ ✟➙✧✡✘❷✁➐ ✏ , ④ ②✠ ✘✡❈✡Ø✁↔✁↕➻ ➊⑨, ❆ø✯✡⑧✡✘õ✡ã③➄ Ù ❯⑦ 6–14 ó✁❛✛
56.3求检验数的方法 表6-14 销地 B2 产量 产地 (3) (5 (1) Al 2 9 10 9 42 1 3 2 5 3) (4) A 5 销 3 8 4 6 在表6-14中，初始基本可行解对应的目标函数值为 z=2×3+9×5+4×3+2×4+7×1+2×5=88. 可见用差值法求出的结果比用上述两种方法好些， 以上介绍了在表格上直接找初始基本可行解的儿种方法，并且可以证明如下定理。 定理6.21用西北角法、最小元素法和差值法得到的的值是一个基本可行解，而画图 的地方正好是基变量.证略) 在第二章中曾说过，有些线性规划问题存在最优解，而有些线性规划向题没有最优解， 即可行解可以使目标函数没有限界.在运输问题中有如下定理 定理6.2.2任何运输问题部有最优解 证明：由定理2可知，任何运输问题都有基本可行解.又因为c,都是非负的，即可行 解必 永远取非负值，所以目标函数值有下界.这就证明了任何运输问题必有最优解. 56.3求检验数的方法 和用单纯形法解线性规划问题一样，在求出初始基本可行解后，就应检查这个基本可 行解是不是最优解.在求目标函数为极小化的线性规划问题中，若所有检验数都 非负，表示所检验的基本可行解是最优解.若有负检验数，就需要迭代.运输问题是线性 规划问题的特殊情况，有其独特的求检验数的方法。但在求出最优解后，上述判别基本可 行解是否为最优解的准则也是适用的。下面介绍两种求运输问题的检验数的方法。 一、闭回路法 前面的定理已介绍了闭回路的概念，以及求初始基本可行解的方法，在用闭回路求检 险数时，还需用到下述定理
§6.3 ✞✥Ñ✁Ò✁Ó✝✆✥Ô✝✟ 9 ⑦ 6–14 ✵✡✲ B1 B2 B3 B4 ✱✹ ✱✡✲ (3) (5) × (1) A1 2 9 10 7 9 × × × (5) A2 1 3 4 2 5 × (3) (4) × A3 8 4 2 5 7 ✵✹ 3 8 4 6 ✟⑦ 6–14 ✏ , ö✡÷õ✡ã③➄ Ù ➣✡✸✡✘➌➋➦✛✁➧✡✇✁⑦✡❴ z = 2 × 3 + 9 × 5 + 4 × 3 + 2 × 4 + 7 × 1 + 2 × 5 = 88. ③➀✡✾➬⑦✡Ø❂ ⑧✡✘Ý➹✑à❁✾➐✁❵✡➀✡✩❈✡Ø✁✮Ï✡✛ ④ ➐✡å✡æ✡➝✡✟⑦✁❷➐✌✁Õßö✡÷õ✡ã③➄ Ù ✘✁❤✩❈✡Ø, ❳✡❮③✡④✁✸✝✹❯➊ ❄ ❾ ✛ ❇✁❞ 6.2.1 Ö❬×✷Ø❬Ù✷Ú↔➳✴Û✰Ü✰Ý✰Þ✁Ú✁ß✰à✁á✁Ú✰â✁ã✁ä xij ä✰á✰å✰æ✰ç✰è✰é✰ê✰ë✰ì, í✰î❬ï ä✁ð✁ñ✁ò✁ó✁å✁è✁ô✁õ✛ (ö✁÷) ✟ ➃✰øä➦✏✰ù✵r , ✒ Ï↔✠↔☛↔☞↔✌↔✍↔✎✰✶↔✟❆↔ôÙ , ➈↔✒Ï↔✠↔☛↔☞↔✌↔✍↔✎✰✤✒↔❆↔ôÙ , ✐③➄ Ù ③✡④ t ➋➦✛✁➧✡✇✤ ✒✁ú✁û✛♦✟✙✡✚✍✡✎✑✏✒✡❯➊ ❄ ❾ ✛ ❇✁❞ 6.2.2 ü✁ý✁þ✁ÿ✁✄✂✆☎✆✝✁Û✆✞✁ì✛ ✟✆✠: ❦ ❄ ❾ 2 ③❀, ✺✡q✡✙✡✚✍✡✎✡➸✒õ✡ã③➄ Ù✡✛ ❞➍❴ cij ➸❢✆✡✆☛✘, ✐③➄ Ù✡❐t z = Xm i=1 Xn j=1 cijxij ☞✆✌✁❼✡✆☛⑦, ó④ ➋➦✛✁➧✡✇✁⑦✡✒➊û ✛♦✜✡➣✸✝✹➝✺✡q✡✙✡✚✍✡✎✡❐✒✡❆✡ôÙ✡✛ §6.3 ð✎✍✎✏✎✑●❏✎✒●ñ ✺✡✾❵✡×➵✡ØÙ✡✠✡☛✡☞✡✌✡✍✡✎✓ ✠ , ✟✡❂⑧✡ö✡÷õ✡ã③➄ Ù ø, ➣ ✸✆✓✆✔✜✰õ✡ã③ ➄ Ù❢û❢ ❆✡ôÙ✡✛♦✟✡❂ ➋ ✛✁➧✬✇✡❴✖✕✡✉Ö ✘✠✬☛✡☞✬✌✡✍✬✎ ✏ , ✮ ó✡✒✆✓✆✗✡✇ cj − zj ➸ ✡✖☛, ⑦ ❛✬ó✖✓✖✗✬✘õ✬ã③➄ Ù❢ ❆✬ôÙ✬✛ ✮ ✒ ☛✓✖✗✬✇, ➣✡➚✬✤➫✡➃✛ ✙✬✚✍✬✎❢✠✬☛ ☞✡✌✡✍✡✎✘✡✕✡✖✁➽✁➾, ✒➡✆✘✆✙✆✚✆✛✓✆✗✆✜✚✆✢✆✣✆✤✦✥✆✧✆✛✖★✆✩✖✪✆✫✆✬, ✭✆✮✆✯✆✰✆✱✆✲✆✳ ✴✆✫✆✵✆✶✆✷✆✩✆✪✆✫✆✚✆✸✆✹✆✺✆✵✆✻✆✼✆✚✆✤✦✽✆✾✆✿✆❀✆❁✆❂✆✛✆❃✆❄✆❅✆❆✆✚✆❇✆❈✜ ✚✆✢✆✣✆✤ ❉❋❊✎●■❍❋❏❋❑ ▲✾▼✚▼◆▼❖◗P❘✿▼❀▼❙▼❚◗❯✄❱▼✚✆❲▼❳, ❨▼❩✛▼❬▼❭✱▼✲▼✳✴▼✫▼✚▼✢✆✣▼✤❪✧▼✼✆❚◗❯✄❱▼✛✆❇ ❈✜✆❫, ❴✆❵✼✆❛✆✽✮ ◆✆❖✆✤
10 第外章运输问即 你米生设蛮量正，8=n+m一)销运定何最表格中的一能 *变量 “在变量能 ,王11，E22,·..,工 数 的闭如路贸证同要 这的阻路婆数销使小 点应的 值为正.所偶 填相应的格子内要 这 变站空梦如果已利用种清足泰状。出的初菊可如表60·洁小 解1应的路为14,2，1空格意应的检方 1=611-14+24-c21=2-7+2-1=-4 空格应的检方 23=c23-c24+c14-C12+c32-c33=4-2+7-9+4-2=2 其它小 变量应的检方 方下 用了样的方法。出要把出的检 表61暖力格中右上角置医登字为安盘不面医的女字为检方这要 另一张表中，见 表6-15 B B B B 产量 产具 -4 3 (4) A41 0 10 9 (3) -1 (2) A2 1 3 4 2 5 7 (4) 3 A3 8 4 2 6 7 6 从表点可见，表实存在乳的检万 故这 可解不销种优解要 利用闭路法.检 可如下经济解释要热 应的空格处把调滨方例改 变一下，由产具A生产的汤资损使单位给B要为了保持平时，就配东4 显一使 单位24处维 佛单位1处显一使单位，而配以一条由： 这 变以及若冠 产鑫量点能“的闭路解见，调整一使单位后E:然使目标】 ”显7x24处使目标 然加2客1处使目标 货且篱餐物公使用经 篷可见调运方例的这这改变销利的要字如藻某一空格的检 ,总的使星标 说明济议 空格调整方例销不昆两的如果。出的检 何改变都不会使目标 议 ”显，而给定的产地予解已销种优解要
10 ❜✁❝✄❞❢❡✆❣✁❤✄✐ ❥✆❦ 4. ❧✆♠✆♥ xi1j1 ,xi2j2 ,. . ., xisjs (s = n + m − 1) ✵✆❃✆❄✆❅✆❆✆♦✆♣✁q✄✚✆r✆s✱, y ✵ r✆t✆✉✱✆♠✆♥, ✹✆✧♠✆♥s y, xi1j1 , xi2j2 , . . . , xisjs q , ✈ ✧✆✇✆r✆✚✆❚✁❯✄❱✆✤ (①✆②)✤ ✽▼✾▼✿▼❀▼✛▼❇▼❈✜ ✚▼❚◗❯❘❱✆✣✆✤ ❧ xij ✵▼r▼t▼✉✱▼♠▼♥, ③ ◆▼❖ 4, ✧▼♦◗q✳▼❨▼④❛▼✇ r✖✚✖❚⑤❯⑥❱✖✤ ❨ xij ⑦ ✷✖⑧✖r✖t✖⑨✖⑩, ❶✖❷r✖t✖✢⑤❸⑥❹✖❚⑤❯⑥❱✖✚✖❺✖❻✖❼✜ ⑨✖⑩✖❽✖❾✖✚ cij ❿✆➀✷✆➁, ❺✆❻✆➂✜ ⑨✆⑩✆❽✆❾✆✚ cij ❿✆➀✷✆➃, ✛✆➄✆➅✆✚✆➆✜✆➇✆➈✷ xij ❺✆❽✆❾✆✚✆❇✆❈✜, ➉✆➊✆➋❾✆✚✆♣✆➌✁➍✄✤ ➎ 4. ➏✆❨✆➐ 1 ✷ ➐ ✤✦➑✆➒✁P✄➓✆✼✆✩✆➔✆→✆➣✆✣✆✛✆★✆✚✆❬✆❭✳ ✴✆✫✆➑✆♦ 6-10, ✛✆↔✆✉✱ ♠✆♥ (↕♣ ) ✚✆❇✆❈✜ ✤ ➙ :x11 ❽✆❾✆✚✆❚✁❯✄❱✆✷ x11,x14,x24,x21 ✤ x11 ↕♣✆❽✆❾✆✚✆❇✆❈✜ ✷ : λ11 = c11 − c14 + c24 − c21 = 2 − 7 + 2 − 1 = −4. x23 ↕♣✆❽✆❾✆✚✆❇✆❈✜ ✷ : λ23 = c23 − c24 + c14 − c12 + c32 − c33 = 4 − 2 + 7 − 9 + 4 − 2 = 2. ➛▼➜✉✱▼♠▼♥❽▼❾▼✚▼❇▼❈✜ ✼✆➝✆➞▼✚✆✢▼✣✆✛▼★✆✤➠➟✆✛✆★▼✚✆❇▼❈✜✆➡➊✆➢r✆➤▼♦✁q, ➥ ♦ 6–15✤✦✢✆♣✁q✄➦✭✆➧✆➨✆➩✚✜✆➫✷✱✆♠✆♥, ➭✆➨✆➩✚✜✆➫✷✆❇✆❈✜ ✤ ♦ 6–15 ➯✆➲ B1 B2 B3 B4 ➳♥ ➳ ➲ −4 (5) 3 (4) A1 2 9 10 7 9 (3) −1 2 (2) A2 1 3 4 2 5 7 (3) (4) 3 A3 8 4 2 5 7 ➯♥ 3 8 4 6 ➵♦ 6–15 ✳✆➥, ♦✁q✈ ✧✆➃✆✚✆❇✆❈✜, ➸✆➺r ✱✆✲✆✳✴✆✫➭✵✆✩✆✪✆✫✆✤ ➓✖✼✖❚⑤❯⑥❱✖✣✖✛✖❇✖❈✜✖✳✖➻➑✖✽✖➼✖➽✖✫✖➾✖✤ ➐➑✖✧ x11 ❽✖❾✖✚↕♣✖➚✖➟✖➪✖❃✖✢✖➶✖➹ ♠ r✆✽, ➘ ➳ ➲ A1 ➴✆➳✚✆➷✆➬✆➪✆r✆t✆➮✆➱✆✃ B1 ✤✦✷✆❙✆❐✆❒✆❮✆❰, Ï✆Ð✧ x14 ➚✆Ñ✆Ò✆r✆t ➮✆➱,x24 ➚✆Ó✆Ô✆r✆t✆➮✆➱,x21 ➚✆Ñ✆Ò✆r✆t✆➮✆➱, ➈✆Ð✆④r✆Õ ➘ x11 ➺ r✆✉✱✆♠✆♥✆❨✆❩✆Ö✆× ✱✆♠✆♥⑩✆s✆Ø✆✚✆❚✁❯✄❱✆✤✦Ù➥, ➪✆Ú✆r✆t✆➮✆➱✆✬ x11 ➚✆ÛÝÜßÞ✆à✜ Ó✆Ô 2,x14 ➚✆ÛÝÜßÞ✆à ✜ Ñ✆Ò 7,x24 ➚✆ÛÝÜßÞ✆à✜ Ó✆Ô 2,x21 ➚✆ÛÝÜßÞ✆à✜ Ñ✆Ò 1, Ó✆Ñ➋✆á, â ✚✆ÛÝÜßÞ✆à✜ Ñ Ò 4✤ ✳✆➥➪✆❃✆✢✆➶✆✚➺ r✆➹♠ ✵✆❻✆➓✆✚✆✤✦ã✆ä✆➑✆➒✖å✆r↕♣✆✚✖❇✆❈✜ ✷✆➁, ✹✆æ✁ç✄✧➺ r ↕♣✆➪✆Ú✆✢✆➶✆✵➭✆✳➀✚✆✤è➑✆➒✆✛✆★✆✚✆❇✆❈✜✆é✆ê✆ë✆ì✆í✆î✆ì 0, ♦✁ç✄❽✆➪✆❃✆✢✆➶✆✚✆ï ð➹ ♠✆ñ✆➭✆òÛÝÜßÞ✆à✜ Ñ✆Ò, ➈✃✆◆✆✚✱✆✲✆✳✴✆✫✁P✄✵✆✩✆✪✆✫✆✤