《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 §4二重积分的变量变换 教学目的了解二重积分的一般的变量变换公式，学握用极坐标计算二重积分. 教学内容二重积分的一般的变量变换公式：极坐标变换公式。 (①)基本要求：了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握二重积分的极坐 标变换。 (2)较高要求：理解二重积分的一般的变量变换公式的证明。 教学建议 (1)本节的重点是极坐标变换公式，要求学生必须熟练掌握。 (2)本节的难点是二重积分的一般的变量变换公式的证明，可要求较好学生 了解。 教学程序 一、二重积分的变量变换公式 引理设变换T:x=u,),y=u,)将m平面上由按段光滑封闭曲线所 围成的闭区域△，一对一地映成y平面上的闭区域D,函数x=xu,),y=u,) 在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 ax.y) Ju-atu可+0，u,e4, 则区域的面积 D)S.vya .(5) 正明现给出y=,)在△内分别具有二阶连续偏导数时的证明， y=,)在△内分别具有一阶连续偏导数的证明以后给出. 由于变换T是一对一的，且，刊≠0，因而T把△的内点变为D的内点， 所以△的按段光滑边界曲线L变换到D时，其边界曲线L如也是按段光滑曲线， 设曲线L的参数方程为 u=40),v=r)(a≤1≤B) 由于L按段光滑，所以价，v日在口，上至多除去有限个第一类间断点外，《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 1 §4 二重积分的变量变换 教学目的 了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握用极坐标计算二重积分． 教学内容 二重积分的一般的变量变换公式；极坐标变换公式． (1) 基本要求：了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握二重积分的极坐 标变换． (2) 较高要求：理解二重积分的一般的变量变换公式的证明． 教学建议 (1) 本节的重点是极坐标变换公式，要求学生必须熟练掌握． (2) 本节的难点是二重积分的一般的变量变换公式的证明，可要求较好学生 了解． 教学程序 一、二重积分的变量变换公式 引理 设变换 T ：x = x(u,v)，y = y(u,v) 将 uv 平面上由按段光滑封闭曲线所 围成的闭区域  ，一对一地映成 xy 平面上的闭区域 D ，函数 x = x(u,v)，y = y(u,v) 在  内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)= ( ) (u v) x y , ,    0，(u,v)   ， 则区域的面积 (D)= J (u v)dudv   , . （5） 证明 现给出 y = y(u,v) 在  内分别具有二阶连续偏导数时的证明， y = y(u,v) 在  内分别具有一阶连续偏导数的证明以后给出． 由于变换 T 是一对一的，且 J(u,v)  0，因而 T 把  的内点变为 D 的内点， 所以  的按段光滑边界曲线 L 变换到 D 时，其边界曲线 LD 也是按段光滑曲线， 设曲线 L 的参数方程为 u = u(t)，v = v(t) (  t  )． 由于 L 按段光滑，所以 u (t)，v (t) 在 , 上至多除去有限个第一类间断点外