第十一章微分方程 三、典型例题解析 例1求通解为y=Ge+c,x的微分方程，其中G、6,是任意常数. 分析所给通解表达式中含两个任意常数，故所求的方程应该是二阶的. 解由y=Ge+6,y=Ge,解得G=二6=y-y,将G,6代入y=6e+Gr整 理得(x-1)y-y+y=0,此即为所求微分方程 例2试证y=c心-w-1是方程y-9y=9的解，但不是它的通解，其中c,9是任 意常数. 分析这类题验证所给函数是相应微分方程的通解或解，只需求出函数的各阶导数， 代入微分方程，看是否使微分方程成为恒等式. 证y=cex-1可以写成 y=ce"xew-l,记c=cee 则有y=ce-1,将其代入方程y”-9y=9得 左端=(ce-)'-9cea-l)=（-3cey-9ce+9 =9ce-9ceu+9=9=右端， 所以y=c-x-1是方程的解，由于解中只含有一个独立的任意常数，故它不是该方程 的通解. 注需要弄清楚解、通解的定义，通解中独立常数的个数应与方程的阶数相同。 例3求下列微分方程的通解： (1)y=(x+ay+b): (2)y'-[ln()-月=0. 分析在求解微分方程时，首先要判断方程的类型，然后根据不同类型，确定解题 方法. 解(1)方程两端同时除以x(y+b),则有 中62 积分得 378第十一章 微分方程 378 三、典型例题解析 例 1 求通解为 1 2 x y c e c x = + 的微分方程，其中 1 c 、 2 c 是任意常数． 分析 所给通解表达式中含两个任意常数，故所求的方程应该是二阶的． 解 由 1 2 1 , x x y c e c y c e   = + = ，解得 1 2 , x y c c y y e  = = −   ，将 1 2 c c, 代入 1 2 x y c e c x = + 整 理得 ( 1) 0 x y xy y − − + =   ，此即为所求微分方程． 例 2 试证 2 3 1 1 c x y c e − = − 是方程 y y  − = 9 9 的解，但不是它的通解，其中 1 2 c c, 是任 意常数． 分析 这类题验证所给函数是相应微分方程的通解或解，只需求出函数的各阶导数， 代入微分方程，看是否使微分方程成为恒等式． 证 2 3 1 1 c x y c e − = − 可以写成 2 3 1 1 c x y c e e − =  − ，记 2 1 c c c e = ， 则有 3 1 x y ce − = − ，将其代入方程 y y  − = 9 9 得 左端 3 ( 1) x ce − = −  3 9( 1) x ce − − − 3 ( 3 )x ce − = −  3 9 9 x ce − − + 3 3 9 9 9 9 x x ce ce − − = − + =  右端， 所以 2 3 1 1 c x y c e − = − 是方程的解，由于解中只含有一个独立的任意常数，故它不是该方程 的通解． 注 需要弄清楚解、通解的定义，通解中独立常数的个数应与方程的阶数相同． 例 3 求下列微分方程的通解： （1） xyy x a y b  = + + ( )( ) ； （2） xy y xy  − − = [ln( ) 1] 0 ． 分析 在求解微分方程时，首先要判断方程的类型，然后根据不同类型，确定解题 方法． 解 （1）方程两端同时除以 x y b ( ) + ，则有 y x a dy dx y b x + = + ， 积分得