第十一章微分方程 y-binly+bEx+alnlxl+c 故通解为 Ixly+b的=e9er-a, 令ea=C,则 lxply+b[=Ce, 而y=-b是方程的解，如果在上述通解中允许C=0,则y=-b也包含在该通解中，因 而，原方程的通解是 IxPly+b/=Ce, 其中C是任意常数. (2)令u=y,则有=y+y,代入原方程得 -y-nu-)=0, 即=yh,所以，W=“nu,分离变量得血-查，于是 ulnu x In|in=Inx|+ing, ,得适解 即有血 r ln(y=C(这里C=±G). 注1如果题目要求是求方程的所有解，本题(1)中，当用xy+b)去除方程时， 可能导致方程失去满足x心y+b)=0的解，即y=-b,所以要对此解进行分析. 注2当方程中出现f,.了x士以白等形式的项时，相应地，通常要做如下 些变量替换u=y,=x士y,u=上等。 例4解方程密=广cs,并求满是初始条件儿=1时的特解 解分离变量得空=c0sxh,两边积分则有 1 从而可得通解为 379 第十一章 微分方程 379 1 y b y b x a x c − + = + + ln | | ln | | ， 故通解为 1 | | | | a b y x c x y b e e − − + = ， 令 1 c e C − = ，则 | | | | a b y x x y b Ce − + = ， 而 y b =− 是方程的解，如果在上述通解中允许 C = 0 ，则 y b =− 也包含在该通解中，因 而，原方程的通解是 | | | | a b y x x y b Ce − + = ， 其中 C 是任意常数． （2）令 u xy = , 则有 u y xy   = + ，代入原方程得 u y y u  − − − = (ln 1) 0 ， 即 u y u  = ln ，所以， ln u u u x  = ，分离变量得 ln du dx u u x = ，于是 1 ln | ln | ln | | ln u x c = + ， 即有 1 ln u c x = ， 1 ln u c x =  ，得通解 ln( ) xy Cx = （这里 C c =  1 ）． 注 1 如果题目要求是求方程的所有解，本题（1）中，当用 x y b ( ) + 去除方程时， 可能导致方程失去满足 x y b ( ) 0 + = 的解，即 y b =− ，所以要对此解进行分析． 注2 当方程中出现 ( ), ( ), ( ) y f xy f x y f x  等形式的项时，相应地，通常要做如下一 些变量替换 u xy = ，u x y =  ， y u x = 等． 例 4 解方程 2 cos dy y x dx = ，并求满足初始条件 0 1 x y = = 时的特解． 解 分离变量得 2 cos dy xdx y = ，两边积分则有 1 sin x c y − = + ， 从而可得通解为