第十一章微分方程 y=-sinx+c (其中c是任意常数).另外，方程还有解y=0,不包含在该通解中，故需补上. 为了求特解，将x=0,y=1代入通解得c=-1,故所求的特解为 y=1-sinx 例5(o1研)设函数)在Q+o内连续，0-且对任意x1e0o)有 "f(uduf(udu+xfudu, 求fx). 分析条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，通常是对积分方程两边求导， 将积分方程转化为解微分方程。解此微分方程，并利用己知条件即可求出函数∫(x) 解在等式 fuh=j广fud+x对ffu 两端关于1求导，得 xf(t)=[广fu)d+xf0）, 令1=1可得 xfx)=广fu)du+xf), 由于f四=子，从而有 x)-广fuda+x 对上式两端关于x求导，得 +=+ 即了=是所以 f(x)-3Ix+C. 将0=代入上式，得C=多，故 fx)=2nx+). 380第十一章 微分方程 380 1 sin y x c = − + （其中 c 是任意常数）．另外，方程还有解 y = 0 ，不包含在该通解中，故需补上． 为了求特解，将 x y = = 0, 1 代入通解得 c =−1 ，故所求的特解为 1 1 sin y x = − ． 例５（01 研） 设函数 f x( ) 在 (0, ) + 内连续， 5 (1) 2 f = ，且对任意 x t, (0, )  + 有 1 1 1 ( ) ( ) ( ) xt x t f u du t f u du x f u du = +    ， 求 f x( ). 分析 条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，通常是对积分方程两边求导， 将积分方程转化为解微分方程．解此微分方程，并利用已知条件即可求出函数 f x( ) ． 解 在等式 1 1 1 ( ) ( ) ( ) xt x t f u du t f u du x f u du = +    两端关于 t 求导，得 1 ( ) ( ) ( ) x xf xt f u du xf t = +  ， 令 t = 1 可得 1 ( ) ( ) (1) x xf x f u du xf = +  ， 由于 5 (1) 2 f = ，从而有 1 5 ( ) ( ) 2 x xf x f u du x = +  ， 对上式两端关于 x 求导，得 5 ( ) ( ) ( ) 2 f x xf x f x + = +  ， 即 5 ( ) 2 f x x  = ，所以 5 ( ) ln 2 f x x C = + ， 将 5 (1) 2 f = 代入上式，得 5 2 C = ，故 5 ( ) (ln 1) 2 f x x = + ．