第十一章微分方程 例6(98研)已知函数y=x)在任意点x处的增量 且当△x→0时，a是△x的高阶无穷小，O)=π，则等于(). A.2x. B. C.e D.xei 分析由微分定义及原题设可知小=告， 解此方程可求得x),进而可求得 ). 解法1由于A=得+a,且当Ax→0时，a是△x的高阶无穷小由微分的定 义可知 本血，即虫中 y1+x 两边积分得 Inly arctanx+C y=Cectmnx, 其中C=e9,由0)=π，则有C=π，于是 l=e=πe 故选D. 然法2等式=学+e丙边除以并令→0，得 四是品+四名 1 即安以下过程同解法1. 例7求方程y+y=2√何的通解 分折原方程可化为齐次方程兰-2店：也可写成y+=云还可装元 令y=u. 解法1将方程化为齐次方程+兰-2眼，令兰，则有=+，代入原方 程得 381 第十一章 微分方程 381 例 6（98 研） 已知函数 y y x = ( ) 在任意点 x 处的增量 2 1 y x y x    = + + ， 且当  →x 0 时，  是 x 的高阶无穷小， y(0) =  ，则 y(1) 等于（ ）． A． 2 ． B． ． C． 4 e  ． D． 4 e   ． 分析 由微分定义及原题设可知 2 1 ydx dy x = + ， 解此方程可求得 y x( ) ， 进而可求得 y(1) ． 解法 1 由于 2 1 y x y x    = + + ，且当  →x 0 时，  是 x 的高阶无穷小，由微分的定 义可知 2 2 1 1 y x y dy dx x x  = = + + ，即 2 1 dy dx y x = + ， 两边积分得 1 ln | | arctan y x C = + 即 arctan x y Ce = ， 其中 C eC1 =  ．由 y(0) =  ，则有 C =  ．于是 arctan1 4 y e e (1) ,  = =   故选 D． 解法 2 等式 2 1 y x y x    = + + 两边除以 x 并令  →x 0 ，得 2 0 0 lim lim x x 1 y y x x x   →  →  = +  +  ， 即 2 , 1 dy y dx x = + 以下过程同解法 1． 例 7 求方程 xy y xy  + = 2 的通解． 分析 原方程可化为齐次方程 2 y y y x x  + = ；也可写成 1 2 1 2 y y y x x  + = ；还可换元 令 xy u = ． 解法 1 将方程化为齐次方程 2 y y y x x  + = ，令 y u x = ，则有 y u xu   = + ，代入原方 程得