f=Ay2+2y2+…+y2 8.正定二次型与正定矩阵 f(x,x2…x)=∑∑axx 对实二次型 如果对任意一组不全为零的实数 x1=C1,x2=C2…xn=Cn,都有f(c,2…n)>0,则称f(x,x2,…,x)为正定二次 正定二次型J=XAX的矩阵A称为正定矩阵 9.正定二次型与正定矩阵判别法 n元实二次型∫=XAX为正定二次型 台f的正惯性指数p=n. A为正定矩阵. →A的顺序主子式全大于零. A的特征值全大于零 A与单位矩阵Ⅰ合同 三、典型例题 (一)正交变换下的标准型 例1设A、B都是实对称矩阵,证明存在正交矩阵C使CAC=B的充要条件是A与B有相 同的特征值 证充分性 设A与B的相同特征值为4,2,…n,又由于A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵 使2 2 2 2 2 1 1 n n f =  y +  y ++  y 8. 正定二次型与正定矩阵 对实二次型 = = = n i n j n ij i j f x x x a x x 1 1 1 2 ( , ,, ) , 如 果 对 任 意一 组 不 全 为零 的 实 数 n n x = c , x = c , , x = c 1 1 2 2  , 都有 ( , , , ) 0 f c1 c2  cn  , 则称 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 为正定二次 型. 正定二次型 f X AX T = 的矩阵 A 称为正定矩阵. 9. 正定二次型与正定矩阵判别法 n 元实二次型 f X AX T = 为正定二次型 f 的正惯性指数 p = n. A 为正定矩阵. A 的顺序主子式全大于零. A 的特征值全大于零. A 与单位矩阵 I 合同. 三、典型例题 （一）正交变换下的标准型 例 1 设 A、B 都是实对称矩阵, 证明存在正交矩阵 C 使 C AC B T = 的充要条件是 A 与 B 有相 同的特征值. 证 充分性 设 A 与 B 的相同特征值为   n , , , 1 2  , 又由于 A 是实对称矩阵, 所以存在正交矩阵 P, 使