10 物理与工程Vol.26No.62016 足这个结果，希望获得更多的信息」 显然，如果极限f(∞)存在，α必须是一个常数，在 让我们区分速度的方向，以及水平距离和高 最简单的情况可以取幂指数α=1. 度方向.问题的参量有H、、R和重力加速度g, 即有n=4个参量（见表6） 6小球在黏性液体中运动的速度 表6炮弹平射扩充参量的量纲 假如有一个小球(Reynolds数非常小)在黏性 物理量 R 液体中自由下落或上升（见图5），它的速度起初被 量纲 L,T-I LT- 加速，但是，由于液体的黏性阻力随速度的增加而 同一个问题，仍然有4个参量，但基本量纲多 增加，小球的速度越来越低最后达到一个速度， 了，现在是3个(Lx,L,,t),这时就只有一个无量 现在的问题是如何确定这个速度？这个问题如果 纲Ⅱ： 利用流体力学的方程来精确求解，其实是非常困 难的，这里使用量纲分析来分析这个问题， Ⅱ=RuHg=Ru-1√g/H (28) 由于式(28)只有一个Ⅱ，所以这个Ⅱ必须是常数 C,问题的解答是 R=Cu√H/g (29) 讨论：式(29)只有一个待定常数，物理关系非常 简单，R与H的关系是抛物线关系，理论推导知 道其中的常数C=2. 图5小球在黏性液体中运动 5量纲分析的不完全相似问题 从物理直觉上，小球运动受到浮力和液体阻 还有一些问题，其中有的Ⅱ非常大而同时有 力的联合作用，显然这个速度问题与以下几个物 些Ⅱ又非常小，出现所谓的奇性问题.比如在以上 理量有关系，具体是什么关系目前不知道.这些相 的例子中曾看到雷诺R很大的情况.这需要引进 关物理量是，小球的特征尺度为R(小球不一定必 量纲分析的不完全相似概念. 须是圆球！如果是圆球，特征尺度R就是圆球的 以上讨论的量纲分析属于完全相似的情况， 半径)，P,P分别是小球和液体介质的密度，4是 如果其中的无量纲Ⅱ趋于无限大或零，这时的量 液体的动力黏性系数，由于是自由落体显然与重 纲分析属于非完整相似情况，这种情况的相似性 力加速度g有关.这些参量的量纲列于表7 一般将被破坏.为了也可以近似处理这类问题的 表7小球在黏性液体中运动问题的各参量的量纲 相似性，G.Bareblatt在1979年提出一种处理这 物理量 R 类相似性的渐进方法[1 量纲LT-1LT-2ML-3ML-3ML.-11L 其基本思想是，比如，不失一般性这里只举有 3个Ⅱ的情况.如一个问题按正常操作得到无量 这个问题可以表示成 纲关系 =f(p.pr'u,R,g) (33) Ⅱ1=f(Ⅱ2，Ⅱ3) (30) 从物理上看，下落的速度应当与小球与液体的密 假如在Ⅱ2→0的情况下Ⅱ1的极限存在，现在的问 度差△p=p,一Pr成比例，这样上式可以改写成 题是Ⅱ，可以是什么形式？类似使用函数的Tay v=f(△0，，R,g入 (34) lor级数展开，Barenblatt建议式(30)改成如下形式 不使用以上方法，直接设速度)可以表达成以下 L1=(Ⅱ2)°f(Ⅱ3) (31) 幂指数的形式 其中式(31)的幂次α是待定常数 v=CR(p,-Pr)μg (35) 如果Ⅱ→∞的极限也存在，式(31)可以改写成 其中C是一个常数.把这些参量的量纲代人这个 Π1=（Ⅱ2）f(∞) (32) 关系，根据量纲一致性原理，得到用α表示的其他物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 足这个结果,希望获得更多的信息. 让我们区分速度的方向,以及水平距离和高 度方向.问题的参量有 H、v、R 和重力加速度g, 即有n=4个参量(见表6). 表6 炮弹平射扩充参量的量纲 物理量 H v R g 量纲 Ly LxT-1 L1 x L1 yT-2 同一个问题,仍然有4个参量,但基本量纲多 了,现在是3个(Lx,Ly,t),这时就只有一个无量 纲Π: Π =RvaHbg c =Rv-1 g/H (28) 由于式(28)只有一个Π,所以这个 Π 必须是常数 C,问题的解答是 R =Cv H/g (29) 讨论:式(29)只有一个待定常数,物理关系非常 简单,R 与 H 的关系是抛物线关系,理论推导知 道其中的常数C=2. 5 量纲分析的不完全相似问题 还有一些问题,其中有的 Π 非常大而同时有 些Π 又非常小,出现所谓的奇性问题.比如在以上 的例子中曾看到雷诺Re很大的情况.这需要引进 量纲分析的不完全相似概念. 以上讨论的量纲分析属于完全相似的情况, 如果其中的无量纲Π 趋于无限大或零,这时的量 纲分析属于非完整相似情况,这种情况的相似性 一般将被破坏.为了也可以近似处理这类问题的 相似性,G.Bareblatt在1979年提出一种处理这 类相似性的渐进方法[18]. 其基本思想是,比如,不失一般性这里只举有 3个Π 的情况.如一个问题按正常操作得到无量 纲关系 Π1 =f(Π2,Π3) (30) 假如在Π2→0的情况下Π1 的极限存在,现在的问 题是Π1 可以是什么形式? 类似使用函数的 Tay￾lor级数展开,Barenblatt建议式(30)改成如下形式 Π1 = (Π2)αf(Π3) (31) 其中式(31)的幂次α是待定常数. 如果Π3→∞的极限也存在,式(31)可以改写成 Π1 = (Π2)αf(∞) (32) 显然,如果极限f(∞)存在,α必须是一个常数,在 最简单的情况可以取幂指数α=1. 6 小球在黏性液体中运动的速度 假如有一个小球(Reynolds数非常小)在黏性 液体中自由下落或上升(见图5),它的速度起初被 加速,但是,由于液体的黏性阻力随速度的增加而 增加,小球的速度越来越低最后达到一个速度v, 现在的问题是如何确定这个速度? 这个问题如果 利用流体力学的方程来精确求解,其实是非常困 难的,这里使用量纲分析来分析这个问题. 图5 小球在黏性液体中运动 从物理直觉上,小球运动受到浮力和液体阻 力的联合作用,显然这个速度问题与以下几个物 理量有关系,具体是什么关系目前不知道.这些相 关物理量是,小球的特征尺度为R(小球不一定必 须是圆球! 如果是圆球,特征尺度 R 就是圆球的 半径),ρs、ρf 分别是小球和液体介质的密度,μ是 液体的动力黏性系数,由于是自由落体显然与重 力加速度g有关.这些参量的量纲列于表7. 表7 小球在黏性液体中运动问题的各参量的量纲 物理量 v g ρs ρf μ R 量纲 LT-1 LT-2 ML-3 ML-3 ML-1t-1 L 这个问题可以表示成 v=f(ρs,ρf,μ,R,g) (33) 从物理上看,下落的速度应当与小球与液体的密 度差Δρ=ρs-ρf 成比例,这样上式可以改写成 v=f(Δρ,μ,R,g) (34) 不使用以上方法,直接设速度v 可以表达成以下 幂指数的形式 v=CRa (ρs -ρf)bμ cg d (35) 其中C 是一个常数.把这些参量的量纲代入这个 关系,根据量纲一致性原理,得到用a表示的其他 10