9 物理与工程Vol.26No.62016 (4)基本单位最多只有=7个，力学系统的 fD= (23) 1 基本单位才有=3个（长度，质量和时间），对于 力学系统来讲，如果问题有n=4个参量，就可以 对于这个问题，我们没有建立问题的方程更 得到一个Ⅱ，这种情况是最好的，因为只有一个Ⅱ， 没有求解，得到了摩擦阻力因子与粗糙度系数的 它就只能是一个常数，所有的量就不再隐含在函 关系公式，很神奇！当然，量纲分析不能完全确定 数里了，比如肥皂泡的例子的Ⅱ就是一个常数 一切，待定常数F(Re,E/D),它必须通过其他方法 这里就出现一个问题，是不是可以在量纲分 (如试验)确定」 析的框架下，通过合理增加一些基本量纲，从而减 对于粗糙度系数ε/D为零的管流，在层流情 少问题的Ⅱ个数，达到简化问题的目的？ 况下fD=64/Re:对于湍流是不同的结果fD= Huntley提出定向量纲(Directed Dimension) 0.316Re-14 概念[)，Siano提出(orientational analysis)取向 对于速度v很大的极限情况，可认为R→ 分析6.1门. o∞，对于这个问题F(Re,e/D)就只是粗糙度系数 具体讲，Huntley的定向量纲基本思想有 E/D函数. 2点： 如果管道完全光滑即粗糙度系数为零，即 (1)考虑矢量的大小和方向，原来只考虑大 fDl./D0=f(0)=C (24) 小.如沿x方向上的长度记成Lx,x坐标方向的速 这时摩擦阻力因子fD是常数！即有切应力m= 度记成vx=L./1, Co2,其中C是常数. (2)区分物质质量(m:)和惯性质量(m,)的 量纲 4定向量纲分析 Siano的取向分析，特别引进方向符号l,、l,、 1.代表3个方向，没有方向的标量使用符号1。.这 以上介绍的通常量纲分析除了本文2.6节的 样Huntley的L,就可以表达成L,=Ll,也可以 难点外，还有些先天不足，比如说长度和速度的方 表示角度和三角函数等 向无法表示，这就使运用量纲分析处理一些固体 4.1炮弹的水平距离 力学问题时有一定的限制，在固体力学中量纲分 问题：炮弹在高处为H处用初始速度平 析不很成功，量纲分析需要改进，需要引进定向量 射，求抛到地面的水平距离R.炮弹在以v抛出 纲的概念11.量纲分析的一些不合理的地方是： 后，在地球引力（重力）的作用下靠惯性飞行，这个 (1)角度由于是无量纲量，它只能隐含在待 问题的参量有H,v,R和重力加速度g,即有n=4 定函数中，它本身无法进行量纲分析，比如研究机 个参量（见表5）. 翼升力的攻角a,只能隐含地表现在函数f(a)中， 表5炮弹平射参量的量纲 但无法从中提取出来。 物理量 个 g (2)所有的应变都是无量纲量，与角度类似 量纲 1 LT-1 LT-2 其本身无法进行量纲分析，只能隐含在待定函数 中，弹性应变与塑性应变量纲也一样，无法区分开 从中可以看出，这个问题的基本量纲是长度 来.而固体力学中应变无处不在，这可能是通常量 L和时间t,即j=2,所以本问题有k=n一j=2个 纲分析在固体力学中应用不理想的一个原因. 无量纲Ⅱ： (3)有些物理量本身之间没有什么联系，但 II=Ru"Hb=R/H (25) 其量纲却相同，在量纲分析中无法把它们分开.例 II2 gu"H"=gH/v (26) 如物质质量和惯性质量的量纲都是M,无法区分 所以有关系 它们：频率，应变率，角速度的量纲都是T-:所有 R/H=f(gH/) (27) Young弹性模量、剪切模量、应力的量纲都是 这就是使用通常量纲分析获得的结果.关系式(27) LMT-2;角动量的变化率、能量和梁板壳弯矩的 只能告诉我们水平距离R与初始高度H成正比， 量纲都是L2MT-2. 无法给出与初始速度的明确关系信息，我们不满物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 fD = 8τw 1 2ρv2A =F æRe,ε è ç ö ø ÷ D (23) 对于这个问题,我们没有建立问题的方程更 没有求解,得到了摩擦阻力因子与粗糙度系数的 关系公式,很神奇! 当然,量纲分析不能完全确定 一切,待定常数F(Re,ε/D),它必须通过其他方法 (如试验)确定. 对于粗糙度系数ε/D 为零的管流,在层流情 况下fD =64/Re;对 于 湍 流 是 不 同 的 结 果 fD = 0.316Re-1/4. 对于速 度v 很 大 的 极 限 情 况,可 认 为 Re→ ∞,对于这个问题F(Re,ε/D)就只是粗糙度系数 ε/D 函数. 如果管道完全光滑即粗糙度系数为零,即 fD v→∞,δ/D→0 =f(0)=C (24) 这时摩擦阻力因子fD 是常数! 即有切应力τw = Cρv2,其中C 是常数. 4 定向量纲分析 以上介绍的通常量纲分析除了本文2.6节的 难点外,还有些先天不足,比如说长度和速度的方 向无法表示,这就使运用量纲分析处理一些固体 力学问题时有一定的限制,在固体力学中量纲分 析不很成功,量纲分析需要改进,需要引进定向量 纲的概念[14-17].量纲分析的一些不合理的地方是: (1)角度由于是无量纲量,它只能隐含在待 定函数中,它本身无法进行量纲分析,比如研究机 翼升力的攻角α,只能隐含地表现在函数f(α)中, 但无法从中提取出来. (2)所有的应变都是无量纲量,与角度类似 其本身无法进行量纲分析,只能隐含在待定函数 中,弹性应变与塑性应变量纲也一样,无法区分开 来.而固体力学中应变无处不在,这可能是通常量 纲分析在固体力学中应用不理想的一个原因. (3)有些物理量本身之间没有什么联系,但 其量纲却相同,在量纲分析中无法把它们分开.例 如物质质量和惯性质量的量纲都是 M,无法区分 它们;频率,应变率,角速度的量纲都是 T-1;所有 Young弹 性 模 量、剪 切 模 量、应 力 的 量 纲 都 是 LMT-2;角动量的变化率、能量和梁板壳弯矩的 量纲都是 L2MT-2. (4)基本单位最多只有j=7个,力学系统的 基本单位才有j=3个(长度,质量和时间),对于 力学系统来讲,如果问题有n=4个参量,就可以 得到一个Π,这种情况是最好的,因为只有一个Π, 它就只能是一个常数,所有的量就不再隐含在函 数里了,比如肥皂泡的例子的Π 就是一个常数. 这里就出现一个问题,是不是可以在量纲分 析的框架下,通过合理增加一些基本量纲,从而减 少问题的Π 个数,达到简化问题的目的? Huntley提出定向量纲(DirectedDimension) 概念[15],Siano提 出 (orientationalanalysis)取 向 分析[16,17]. 具体 讲,Huntley 的 定 向 量 纲 基 本 思 想 有 2点: (1)考虑矢量的大小和方向,原来只考虑大 小.如沿x方向上的长度记成Lx,x坐标方向的速 度记成vx=Lx/t, (2)区分物 质 质 量 (mi)和 惯 性 质 量 (ms)的 量纲. Siano的取向分析,特别引进方向符号lx、ly、 lz 代表3个方向,没有方向的标量使用符号l0.这 样 Huntley的Lx 就可以表达成Lx =Llx.也可以 表示角度和三角函数等. 4.1 炮弹的水平距离 问题:炮弹在高处为 H 处用初始速度v 平 射,求抛到地面 的 水 平 距 离 R.炮 弹 在 以v 抛 出 后,在地球引力(重力)的作用下靠惯性飞行,这个 问题的参量有 H,v,R 和重力加速度g,即有n=4 个参量(见表5). 表5 炮弹平射参量的量纲 物理量 H v R g 量纲 L LT-1 L LT-2 从中可以看出,这个问题的基本量纲是长度 L 和时间t,即j=2,所以本问题有k=n-j=2个 无量纲Π: Π1 =RvaHb =R/H (25) Π2 =gvaHb =gH/v2 (26) 所以有关系 R/H =f(gH/v2) (27) 这就是使用通常量纲分析获得的结果.关系式(27) 只能告诉我们水平距离R 与初始高度 H 成正比, 无法给出与初始速度的明确关系信息,我们不满 9