物理与工程Vol.26No.62016 通过实践训练才能掌握好这个工具.学术上讲，其 个.作为第一次猜测，取j值等于问题中基本量纲 中的一些问题只有通过相似论来解决.但是，应用 的个数，即j=3.这样我们就有k=n一j=6一3= 相似论，就要求使用物理问题的基本方程.在很多 3,这样就会有k=3个无量纲量Ⅱ. 实际问题中，问题的基本方程常常还不很明白.在 第4步：j值是3，我们要从6个参量中选择3 这些没有基本方程的复杂问题中，量纲分析就比 个作为问题的重复变量，无量纲的攻角不选，因变 较有用.所以，如果你研究的问题非常复杂，还没 量x。不选，动力粘度：已经包含了所有的基本量 有搞得太明白，最好不要贸然开始，建议先用量纲 纲L,M,T,我们取D,v,p作为重复变量. 分析试试问题的深浅. 第5步：把所有的k个无量纲量Ⅱ列出，必 确定重复变量是量纲分析的难点，一般情况 要时适当整理无量纲量Ⅱ转化成科学界已经命名 要从物理上思考才会比较准确.比如管道中流体 的无量纲量， 流动摩擦阻力的问题，其中有管道、液体和流动3 我们把xx与重复变量做一个乘积，重复变量 个因素，它们的相互作用导致摩擦阻力，重复变量 的幂次为待定. 就必须包括管道和流动液体两个方面，所以可以 I1=twv"D'p 取管道的直径D、液体的密度p和流动速度v作 dimΠ1=MLT-2(LT广1)“(L)b(ML-3)(15) 为重复变量 把表中的参量基本量纲代入到上式，并注意Ⅱ是 无量纲量，得到合并同类项，两边同一量的幂次必 3管内液体流动的摩擦阻力 须相等，得到待定常数a=一2，b=0,c=一1. 把确定的a和b代入到Ⅱ，得到这个问题Ⅱ 设一个圆管（见图4）的直径为D,不完全光 I T (16) 滑有粗糙度ε（长度量纲），流体的密度是P,流动速 u 度v,动力粘度4，摩擦切应力x(是摩擦阻力的来 其中的Ⅱ，改写成传统的Darcy摩擦阻力因子fn 源)，问题是需要确定x与其他量的关系. I1.mdific= 8xw一=fD (17) 200A 类似，我们用空气粘度μ代替τ如，重复计算就可 以得到Ⅱ2 Ⅱ2=pw“vp dimⅡ2=ML-1T-1(LT-1)a(L)(ML-3)(18) 图4管流的摩擦阻力 可以得到另一组a=一1，b=-1,c=-1,所以 几2=4 第1步：列出问题所有的参量（有量纲的变 PuD (19) 量，无量纲变量和常数)并计算其个数，设一共有n 这个Ⅱz就是Reynolds常数Re的倒数，可以修改 个参量 成传统表示 对于这个问题，我们有6个参量，即n=6.这 I.-euD =Re (20) 个问题的目的就是要确定关系 同样可以得到第3个Ⅱ，就是粗糙度8与管直径 tw=f(v,e,p,u,D) (14) 的比值，传统称为粗糙度系数 第2步：列出所有个参量的量纲（见表4） (21) 表4管流参量的量纲 4-8 物理量 Tw D 第6步：验证所有的无量纲量Ⅱ，并写出问题 量纲 ML-T-:LT-L ML-ML-T- 的最终量纲关系. Ⅱ1.md=f(L2.nd,L3） (22) 第3步：这个问题的基本量纲有L,M,T共3 得到摩擦阻力系数为物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 通过实践训练才能掌握好这个工具.学术上讲,其 中的一些问题只有通过相似论来解决.但是,应用 相似论,就要求使用物理问题的基本方程.在很多 实际问题中,问题的基本方程常常还不很明白.在 这些没有基本方程的复杂问题中,量纲分析就比 较有用.所以,如果你研究的问题非常复杂,还没 有搞得太明白,最好不要贸然开始,建议先用量纲 分析试试问题的深浅. 确定重复变量是量纲分析的难点,一般情况 要从物理上思考才会比较准确.比如管道中流体 流动摩擦阻力的问题,其中有管道、液体和流动3 个因素,它们的相互作用导致摩擦阻力,重复变量 就必须包括管道和流动液体两个方面,所以可以 取管道的直径 D、液体的密度ρ和流动速度v 作 为重复变量. 3 管内液体流动的摩擦阻力 设一个圆管(见图4)的直径为 D,不完全光 滑有粗糙度ε(长度量纲),流体的密度是ρ,流动速 度v,动力粘度μ,摩擦切应力τw(是摩擦阻力的来 源),问题是需要确定τw 与其他量的关系. 图4 管流的摩擦阻力 第1步:列出问题所有的参量(有量纲的变 量,无量纲变量和常数)并计算其个数,设一共有n 个参量. 对于这个问题,我们有6个参量,即n=6.这 个问题的目的就是要确定关系 τw =f(v,ε,ρ,μ,D) (14) 第2步:列出所有n个参量的量纲(见表4). 表4 管流参量的量纲 物理量 τw v ε ρ μ D 量纲 ML-1T-2 LT-1 L ML-3 ML-1T-1 L 第3步:这个问题的基本量纲有L,M,T 共3 个.作为第一次猜测,取j值等于问题中基本量纲 的个数,即j=3.这样我们就有k=n-j=6-3= 3,这样就会有k=3个无量纲量Π. 第4步:j值是3,我们要从6个参量中选择3 个作为问题的重复变量,无量纲的攻角不选,因变 量τw 不选,动力粘度μ已经包含了所有的基本量 纲 L,M,T,我们取D,v,ρ作为重复变量. 第5步:把所有的k 个无量纲量Π 列出,必 要时适当整理无量纲量Π 转化成科学界已经命名 的无量纲量. 我们把τw 与重复变量做一个乘积,重复变量 的幂次为待定. Π1 =τwvaDbρ c → dimΠ1 = MLT-2 (LT-1)a (L)b (ML-3)c (15) 把表中的参量基本量纲代入到上式,并注意 Π 是 无量纲量,得到合并同类项,两边同一量的幂次必 须相等,得到待定常数a=-2,b=0,c=-1. 把确定的a和b 代入到Π,得到这个问题Π Π1 = τw ρv2 (16) 其中的Π1 改写成传统的 Darcy摩擦阻力因子fD Π1,modified = 8τw 1 2ρv2A =fD (17) 类似,我们用空气粘度μ代替τw,重复计算就可 以得到Π2 Π2 =μvavbρ c → dimΠ2 = ML-1T-1 (LT-1)a (L)b (ML-3)c (18) 可以得到另一组a=-1,b=-1,c=-1,所以 Π2 = μ ρvD (19) 这个Π2 就是 Reynolds常数Re的倒数,可以修改 成传统表示 Π2,modiefied =ρvD μ =Re (20) 同样可以得到第3个Π3,就是粗糙度δ与管直径 的比值,传统称为粗糙度系数 Π3 = ε D (21) 第6步:验证所有的无量纲量Π,并写出问题 的最终量纲关系. Π1,modified =f(Π2,modified,Π3) (22) 得到摩擦阻力系数为 8