物理与工程Vol.26No.62016 为Buckinghamπ定理.Bridgman的这部书是他在 续表 哈佛大学给研究生的5次讲座基础上整理而成， 步骤 操作 是世界上第一部量纲分析专著.由于量纲分析理 重复使用j个基本量纲，用于构造每一个无量 论之后没有什么变化，从现代的角度看这部书完 第4步 纲量Ⅱ，这样的无量纲量Ⅱ一共有k=n一 全一点都不过时，多次再版发行，不愧为是一部名 j个. 著.1946年，Bridgman由于高压物理的研究获得 把所得的所有k个无量纲量Ⅱ列出，必要时 诺贝尔物理学奖.有关π定理，据说俄罗斯学者于 第5步 适当整理成无量纲量Ⅱ，并转换成科学界已经 1911年曾独立发现2]. 命名的无量纲量， π定理：设有一个物理关系，f(x1,x2,x3,…, 验证所有的无量纲量Ⅱ，并写出问题的最终量 xn)=0,由一组量纲不同的物理量x1,x2,x3,…, 第6步 纲关系.由于这种关系都是以幂次方形式表 x。所组成.设在这组物理量中有方个量纲是相互 现，所以也称为标度律(scaling law). 独立的，并且选作为基本单位量纲，这个物理关系 一定可以用k=n一j个无量纲量Ⅱ1，Ⅱ2，…，Ⅱ完 应当指出，在第3步中有“猜测j值”，这就给 全表示出来，即 人一种不确定的感觉，从而使量纲分析有些随意 f(L1,Ⅱ2，Ⅱ3，…，Ⅱ)=0 (13) 性，由于这个原因，量纲分析也的确有些技巧或 其中亚由k=一j个x:方程构成，几，=骨x受…x0, “艺术”成分.一个复杂问题通过量纲分析解决后 这里的j不能是任意多，基本量纲单位只要7 往往会给人一种智慧的冲击和享受，所以好的量 个，所以j的最大值是7，一般情况下≤7.但在定 纲分析结果一般都是科学大作」 向量纲分析中，可以通过引入长度的方向性，增加 2.6量纲分析的难点 基本量纲，但本质上也没有增加物理基本单位，仍 虽然π定理给出了构造无量纲量Ⅱ的一般方 然是7个.从以上的π定理的表述看，可能给人的 法，但人们在使用中会感到一定的困难 感觉是量纲分析很困难.其实只要对问题有比较 (1)如何确定问题的物理量，就是参量n的问 好的物理了解，使用下面的6步法，就可以较快地 题.在一个物理问题中究竞哪些是必要的物理量， 得到问题的标度律或相似关系。 有时很难决定，特别是新的科学问题，问题本身可 2.5量纲分析的6步法 能还没有确定，多余地加进一些关系不大的物理 π定理给出了构造无量纲量Ⅱ的一般方法， 量，常常给我们增加很多分析的复杂性，但过少的 在此基础上人们总结出一个简单的6步方法[]列 物理量显然不能解决问题.这里就需要有高深的 于表3. 科学修养，具体问题具体分析，这个地方就有“技 表3量纲分析的6步法 巧”和“艺术”的成分.量纲分析需要非常丰富的物 理知识和对问题的深刻理解」 步骤 操作 (2)如何决定作为基本量纲的物理量，就是方 列出问题所有的参量（有量纲的变量，无量纲 值的问题.在n个参量中，选j个量作为基本量， 变量和常数)并计算其个数.设一共有n个参 第1步 这时到底选哪个量作为基本量，就是一个很关键 量，要保证任何在此列出的参量都是独立的， 不能用其他量表示。 的问题，显然不同的选择，会构造出不同的一组无 量纲量Ⅱ.这个重要的问题可惜没有一个标准和 列出所有n个参量量纲中的量纲（注意基本 第2步 规律可循，从而不同人会得到不同的结果.这就有 量纲单位最多只有7个！). 结果好坏的问题，是量纲分析中难度系数最大的 猜测j个“重复变量”(j又称reduction减少 问题 值，最多只有7个).作为第一次猜测，取j值 (3)无量纲量Ⅱ不是唯一的，其相互的乘除 等于问题中基本量纲的个数，即第2步中的 第3步 和幂次都是无量纲量！这时需要把导出的无量纲 基本量纲数.根据Buckinghamπ定理，可以构 造k=n一j个无量纲量Ⅱ.如果得到的结果有 量与历史上科学界已经命名的参量比较，并改写 问题，需要改变值再重复推导， 成该量的传统表示 以上是量纲分析学习和使用时的难点，必须物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 为Buckinghamπ定理.Bridgman的这部书是他在 哈佛大学给研究生的5次讲座基础上整理而成, 是世界上第一部量纲分析专著.由于量纲分析理 论之后没有什么变化,从现代的角度看这部书完 全一点都不过时,多次再版发行,不愧为是一部名 著.1946年,Bridgman由于高压物理的研究获得 诺贝尔物理学奖.有关π定理,据说俄罗斯学者于 1911年曾独立发现[12]. π定理:设有一个物理关系,f(x1,x2,x3,…, xn)=0,由一组量纲不同的物理量 x1,x2,x3,…, xn 所组成.设在这组物理量中有j个量纲是相互 独立的,并且选作为基本单位量纲,这个物理关系 一定可以用k=n-j个无量纲量Π1,Π2,…,Πk 完 全表示出来,即 f(Π1,Π2,Π3,…,Πk)=0 (13) 其中Πi 由k=n-j个xi 方程构成,Πi=xa11xa22 …xann . 这里的j不能是任意多,基本量纲单位只要7 个,所以j的最大值是7,一般情况下j≤7.但在定 向量纲分析中,可以通过引入长度的方向性,增加 基本量纲,但本质上也没有增加物理基本单位,仍 然是7个.从以上的π定理的表述看,可能给人的 感觉是量纲分析很困难.其实只要对问题有比较 好的物理了解,使用下面的6步法,就可以较快地 得到问题的标度律或相似关系. 2.5 量纲分析的6步法 π定理给出了构造无量纲量Π 的一般方法, 在此基础上人们总结出一个简单的6步方法[13]列 于表3. 表3 量纲分析的6步法 步骤 操作 第1步 列出问题所有的参量(有量纲的变量,无量纲 变量和常数)并计算其个数.设一共有n个参 量,要保证任何在此列出的参量都是独立的, 不能用其他量表示. 第2步 列出所有n 个参量量纲中的量纲(注意基本 量纲单位最多只有7个!). 第3步 猜测j个“重复 变 量”(j又 称reduction减 少 值,最多只有7个).作为第一次猜测,取j值 等于问题中基本量纲的个数,即第2步中的 基本量纲数.根据 Buckinghamπ定理,可以构 造k=n-j个无量纲量Π.如果得到的结果有 问题,需要改变j值再重复推导. 续表 步骤 操作 第4步 重复使用j个基本量纲,用于构造每一个无量 纲量Π,这 样 的 无 量 纲 量 Π 一 共 有k=n￾j个. 第5步 把所得的所有k个无量纲量Π 列出,必要时 适当整理成无量纲量Π,并转换成科学界已经 命名的无量纲量. 第6步 验证所有的无量纲量Π,并写出问题的最终量 纲关系.由于这种关系都是以幂次方形式表 现,所以也称为标度律(scalinglaw). 应当指出,在第3步中有“猜测j值”,这就给 人一种不确定的感觉,从而使量纲分析有些随意 性,由于这个原因,量纲分析 也 的 确 有 些 技 巧 或 “艺术”成分.一个复杂问题通过量纲分析解决后 往往会给人一种智慧的冲击和享受,所以好的量 纲分析结果一般都是科学大作. 2.6 量纲分析的难点 虽然π定理给出了构造无量纲量Π 的一般方 法,但人们在使用中会感到一定的困难[14]. (1)如何确定问题的物理量,就是参量n的问 题.在一个物理问题中究竟哪些是必要的物理量, 有时很难决定,特别是新的科学问题,问题本身可 能还没有确定.多余地加进一些关系不大的物理 量,常常给我们增加很多分析的复杂性,但过少的 物理量显然不能解决问题.这里就需要有高深的 科学修养,具体问题具体分析,这个地方就有“技 巧”和“艺术”的成分.量纲分析需要非常丰富的物 理知识和对问题的深刻理解. (2)如何决定作为基本量纲的物理量,就是j 值的问题.在n 个参量中,选j个量作为基本量, 这时到底选哪个量作为基本量,就是一个很关键 的问题,显然不同的选择,会构造出不同的一组无 量纲量Π.这个重要的问题可惜没有一个标准和 规律可循,从而不同人会得到不同的结果.这就有 结果好坏的问题,是量纲分析中难度系数最大的 问题. (3)无量纲量 Π 不是唯一的,其相互的乘除 和幂次都是无量纲量! 这时需要把导出的无量纲 量与历史上科学界已经命名的参量比较,并改写 成该量的传统表示. 以上是量纲分析学习和使用时的难点,必须 7