物理与工程Vol.26No.62016 容，如何使用它来解决科学和工程中的问题？下 些问题涉及多个基本物理量： 面就系统介绍量纲分析的理论， 比如，纯力学类系统，只会涉及3个基本量 (质量，长度和时间)，如果考虑温度变化的热力学 2量纲分析的基本概念和π定理 过程就需要加上基本量温度 2.2量纲的幂次定律 量纲分析有它的核心概念和定理，理解它们 量纲是物理量的种类属性，物理量的量纲反 对于灵活使用量纲分析来解决问题非常重要.量 映该物理量随基本量的单位变化而变化的倍数 纲分析核心知识点包括量纲概念、7个基本量纲 物理量的量纲如何来表达，它一般是什么形式？ 单位、量纲幂次定理、量纲一致性定律、π定理、量 在力学系统中，基本量纲有3个，长度L,质量M 纲分析6步法、模型实验与原问题的相似模数都 和时间T,这个系统中的任何的物理量Y都可以 必须相等等概念 表示成Y=L“M心T,其中a,b,c为实数 2.1量纲和基本单位 一个无量纲的纯数A也可以这样表达，只是 任何物理量都有量纲或单位，该物理量的大 其幂次都为零，即A=LMT°.其实这个结果是 小就是这个单位的多少倍，即一个标量乘这个单 一般性的.一个问题的基本量纲一旦确定，其中的 位.如长度10米，其中米是度量这个长度的单位， 任何物理量都可以表达成基本量纲的幂次形式， 而10是这个长度和米所表示的单位长度的比例. 物理量纲的幂次定律：任何物理量的量纲公 很明显，用来度量这个物理量的单位和这个物理 式都是基本量纲的幂次单项式的形式. 量本身一定是同一类型的量，或者说，这些量的量 2.3量纲一致性定律 纲是相同的.长度的量纲我们用L来表示，而不特 苹果（物理量）加雪梨（物理量）等于什么？量 别说明具体是用长度的米、厘米还是毫米，只要是 纲不同的物理量是不能相加的（见图3）， 长度量纲就行」 量纲一致性定律：每个在公式中相加的量其 当然也有一些量是没有量纲，我们就称其为 量纲必须一致 “无量纲”量，如角度和一些导出的量. 物理世界千变万化，看起来非常复杂，但可以 庆幸的是，基本的物理量量纲单位一共只要7个 (见表2)，所以我们有结论：基本的物理量量纲单 图3不同性质的物理量不能相加 位一共只要7个；所有其他的物理量都是其组合 的导出单位 例如，Einstein公式，E=mc2,量纲关系是 ML2T-2=M(L/T)2.如果在推导公式时发现某 表2基本物理量量纲和符号 些项的量纲之间不同，那么一定是推导有误，必须 量的名称 量纲Dimension符号Symbol SI单位 修改以保证公式中的每一项的量纲都一致， 质量 M 加 kg (kilogram) 与量纲一致性原理相关的一个原理是说描 长度 L L m (meter) 写真实世界的物理定律中的物理量与测量这些 时间 T s (second) 物理量的单位无关.比如力学的Newton定律 热力学温度 0 T K (kelvin) F=ma中的质量可以使用kg,也可以使用g,不 电流 A (ampere) 管用什么单位，公式都应该成立，这种与物理量单 发光强度 J C cd (candela) 位无关反映了物理定律一个非常重要的不变性 物质的量 N N mol (mole) 原理 2.4π定理 从一个问题涉及基本物理单位的个数多少基 1914年Buckinghamts.1o发表一篇有关量纲 本可以预测这个问题的复杂程度，当然越多越复 分析的重要定理，由于在论文中使用希腊字母π 杂，但最多就是7个基本的物理单位.近几年来， 表示无量纲量，1922年被美国学者P.W.Bridg 科学界比较关注的多物理问题从本质上看就是这 man在其专著《Dimensional Analysis》)中命名物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 容,如何使用它来解决科学和工程中的问题? 下 面就系统介绍量纲分析的理论. 2 量纲分析的基本概念和π定理 量纲分析有它的核心概念和定理,理解它们 对于灵活使用量纲分析来解决问题非常重要.量 纲分析核心知识点包括量纲概念、7 个基本量纲 单位、量纲幂次定理、量纲一致性定律、π 定理、量 纲分析6步法、模型实验与原问题的相似模数都 必须相等等概念. 2.1 量纲和基本单位 任何物理量都有量纲或单位,该物理量的大 小就是这个单位的多少倍,即一个标量乘这个单 位.如长度10米,其中米是度量这个长度的单位, 而10是这个长度和米所表示的单位长度的比例. 很明显,用来度量这个物理量的单位和这个物理 量本身一定是同一类型的量,或者说,这些量的量 纲是相同的.长度的量纲我们用 L来表示,而不特 别说明具体是用长度的米、厘米还是毫米,只要是 长度量纲就行. 当然也有一些量是没有量纲,我们就称其为 “无量纲”量,如角度和一些导出的量. 物理世界千变万化,看起来非常复杂,但可以 庆幸的是,基本的物理量量纲单位一共只要7个 (见表2),所以我们有结论:基本的物理量量纲单 位一共只要7个;所有其他的物理量都是其组合 的导出单位. 表2 基本物理量量纲和符号 量的名称 量纲 Dimension 符号Symbol SI单位 质量 M m kg(kilogram) 长度 L L m (meter) 时间 T t s(second) 热力学温度 Θ T K(kelvin) 电流 I I A(ampere) 发光强度 J C cd(candela) 物质的量 N N mol(mole) 从一个问题涉及基本物理单位的个数多少基 本可以预测这个问题的复杂程度,当然越多越复 杂,但最多就是7个基本的物理单位.近几年来, 科学界比较关注的多物理问题从本质上看就是这 些问题涉及多个基本物理量. 比如,纯力学类系统,只会涉 及 3 个 基 本 量 (质量,长度和时间),如果考虑温度变化的热力学 过程就需要加上基本量温度. 2.2 量纲的幂次定律 量纲是物理量的种类属性,物理量的量纲反 映该物理量随基本量的单位变化而变化的倍数. 物理量的量纲如何来表达,它 一 般 是 什 么 形 式? 在力学系统中,基本量纲有3个,长度 L,质量 M 和时间 T,这个系统中的任何的物理量Y 都可以 表示成Y=La MbTc,其中a,b,c为实数. 一个无量纲的纯数 A 也可以这样表达,只是 其幂次都为零,即 A=L0M0T0.其实这个结果是 一般性的.一个问题的基本量纲一旦确定,其中的 任何物理量都可以表达成基本量纲的幂次形式, 物理量纲的幂次定律:任何物理量的量纲公 式都是基本量纲的幂次单项式的形式. 2.3 量纲一致性定律 苹果(物理量)加雪梨(物理量)等于什么? 量 纲不同的物理量是不能相加的(见图3). 量纲一致性定律:每个在公式中相加的量其 量纲必须一致. 图3 不同性质的物理量不能相加 例如,Einstein 公 式,E=mc2,量 纲 关 系 是 ML2T-2=M (L/T)2.如果在推导公式时发现某 些项的量纲之间不同,那么一定是推导有误,必须 修改以保证公式中的每一项的量纲都一致. 与量纲一致性 原 理 相 关 的 一 个 原 理 是 说 描 写真实世界的物理定律中的物理量与测量这些 物 理 量 的 单 位 无 关.比 如 力 学 的 Newton定 律 F=ma中的质量可以使用 kg,也 可 以 使 用 g,不 管用什么单位,公式都应该成立.这种与物理量单 位无关反映了物理定律一个非常重要的不变 性 原理. 2.4 π定理 1914年 Buckingham [9,10]发表一篇有关量纲 分析的重要定理,由于在论文中使用希腊字母π 表示无量纲量,1922年被美国学者 P.W.Bridg￾man在其专著《DimensionalAnalysis》[11]中命名 6