网络出版时间：2016-09-2709：46：00 网络出版地址：htp:/小www.cnki.net/kcms/detail/11.4483.O3.20160927.0946.002.hml 物理与工程Vol.26No.62016 量纲分析以及应用 孙博华 (开普半岛技术大学机械工程系，开普敦南非7535) 摘要本文系统介绍了量纲分析方法和如何使用量纲分析的六步法，通过几个典型应用（点 源爆炸、管流阻力和黏性流体中小球运动)展示了量纲分析的普适性 关键词量纲；π定律：相似性 DIMENSIONAL ANALYSIS AND APPLICATIONS Sun Bohua (Department of Mechanical Engineering.Cape Peninsula University of Technology.Bellville 7535,Cape Town,South Africa) Abstract The paper gives a systematical introduction on dimensional analysis(DA),and pro- poses a six-steps on how to use the dimensional analysis,the universality of the DA will be shown by some typical examples,such as,point blast,pipe flow and a small sphere moving through a viscous fluid. Key words dimension;x theorem;similarity 解，或者求解的过程非常复杂不便于实际应用.有 0引言 时需要做试验，而实际尺寸很难在试验条件中实 现，必须缩小尺寸做模型试验，这时必须要求满足 随着人类对自然界探索活动的深入，遇到的 一定的相似条件，这种条件必须建立在量纲分析 问题也愈来愈复杂，往往涉及多尺度、多层次、多 和相似论的基础上才能建立.一般来讲，对于复杂 材料和多物理的耦合问题.虽然有各种各样的分 问题，特别是研究开始时一般都要先进行量纲分 析方法，但都有其局限性，我们现在的问题是，是 析和相似性分析，尽量找出一些一般性规律，发现 否有一种普遍方法来处理这些复杂的问题.回答 主导参量，细化演化过程，以便在建模和分析时简 是肯定的，这个普遍适用的方法就是量纲分析方 化问题. 法，它是探讨科学规律、解决科学和工程问题的一 量纲分析(dimensional analysis).很难说从何 个普适方法，是一门非常值得学习和掌握的科学时开始，基本上它是推广古希腊几何中的相似与 工具. 比例的观念.很多科学大师如Newton、Fourier)、 解决一个复杂问题，除了需要理解具体问题 Maxwell!)等处理问题时内心深处其实是有量纲 的物理理论外，还需要掌握与物理概念密切相关 的概念，但不成系统.法国数学家J.Fourier的名 的量纲分析方法和相似论.它们既可以用于数据 著Analytical Theory of Heat(热的解析理论)就 整理，也可以在不求解问题前就对问题有个定量 有量纲分析的论述，20世纪初量纲分析才逐渐成 和定性的把握.对于有些复杂问题，建立其数学模 形，并且是物理学、数学中建立数学模型的重要方 型有时可能非常困难，或者方程非常复杂难以求 法之一.牛顿第二定律F=a的物理关系，其方 收稿日期：2016-09-15 作者简介：孙博华，南非科学院院士，南非开普半岛技术大学教授，研究领域主要是应用数学和力学.sunb@cput.ac.za 引文格式：孙博华.量纲分析以及应用[门.物理与工程，2016,26(6)：312
物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 量纲分析以及应用 孙博华 (开普半岛技术大学机械工程系,开普敦 南非 7535) 摘 要 本文系统介绍了量纲分析方法和如何使用量纲分析的六步法,通过几个典型应用(点 源爆炸、管流阻力和黏性流体中小球运动)展示了量纲分析的普适性. 关键词 量纲;π定律;相似性 DIMENSIONALANALYSISANDAPPLICATIONS SunBohua (DepartmentofMechanicalEngineering,CapePeninsulaUniversityofTechnology,Bellville7535,CapeTown,SouthAfrica) Abstract Thepapergivesasystematicalintroductionondimensionalanalysis(DA),andproposesasix-stepsonhowtousethedimensionalanalysis,theuniversalityoftheDA willbe shownbysometypicalexamples,suchas,pointblast,pipeflowandasmallspheremoving throughaviscousfluid. Keywords dimension;πtheorem;similarity 收稿日期:2016-09-15 作者简介:孙博华,南非科学院院士,南非开普半岛技术大学教授,研究领域主要是应用数学和力学.sunb@cput.ac.za 引文格式:孙博华.量纲分析以及应用[J].物理与工程,2016,26(6):3-12. 0 引言 随着人类对自然界探索活动的深入,遇到的 问题也愈来愈复杂,往往涉及多尺度、多层次、多 材料和多物理的耦合问题.虽然有各种各样的分 析方法,但都有其局限性,我们现在的问题是,是 否有一种普遍方法来处理这些复杂的问题.回答 是肯定的,这个普遍适用的方法就是量纲分析方 法,它是探讨科学规律、解决科学和工程问题的一 个普适方法,是一门非常值得学习和掌握的科学 工具. 解决一个复杂问题,除了需要理解具体问题 的物理理论外,还需要掌握与物理概念密切相关 的量纲分析方法和相似论.它们既可以用于数据 整理,也可以在不求解问题前就对问题有个定量 和定性的把握.对于有些复杂问题,建立其数学模 型有时可能非常困难,或者方程非常复杂难以求 解,或者求解的过程非常复杂不便于实际应用.有 时需要做试验,而实际尺寸很难在试验条件中实 现,必须缩小尺寸做模型试验,这时必须要求满足 一定的相似条件,这种条件必须建立在量纲分析 和相似论的基础上才能建立.一般来讲,对于复杂 问题,特别是研究开始时一般都要先进行量纲分 析和相似性分析,尽量找出一些一般性规律,发现 主导参量,细化演化过程,以便在建模和分析时简 化问题. 量纲分析(dimensionalanalysis)很难说从何 时开始,基本上它是推广古希腊几何中的相似与 比例的观念.很多科学大师如 Newton、Fourier [1]、 Maxwell [2]等处理问题时内心深处其实是有量纲 的概念,但不成系统.法国数学家J.Fourier的名 著 AnalyticalTheoryofHeat(热的解析理论)就 有量纲分析的论述,20世纪初量纲分析才逐渐成 形,并且是物理学、数学中建立数学模型的重要方 法之一.牛顿第二定律 F=ma 的物理关系,其方 3 网络出版时间：2016-09-27 09:46:00 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.4483.O3.20160927.0946.002.html
物理与工程Vol.26No.62016 程式应该与计量物理量的单位无关，这导致一个 在《The Birth of the Bomb》一书中指出，当时他们 重要结论：任何有意义的定律，对于其方程式的每 认为全英国只有一个人可以解决这个问题，这个 一个计量单位，都必需是齐次方程式.这个认识的 人就是剑桥大学的G.L.Taylor教授. 最终形式成为π定理，即假设一个有物理意义的 对于这个科学问题，Taylor思考和计算空气 方程式具有n个变数与m个基本量纲，π定理描 在瞬间爆炸产生的运动和压力.他认为爆炸会产 述怎样将这方程式等价地写成具有n一m个无量 生一个热冲击波，即一个点源强爆炸瞬间释放巨 纲参数的方程式.更重要的是，从给定的变数，这 大但有限的能量E,将对其周围的空气进行急剧 定理给出了一种能够计算这些无量纲参数的 的压缩和加温，并以超过声速的球形冲击波向外 方法 急速膨胀 通过量纲分析可以检查反映物理规律的方程 25 MS.N 在计量方面是否合理，即利用物理定律的量纲平 THUS FAR THE FLAME FRONT AND THE SHOCK FRONT HAVE BEEN COINCIDENT,HENCE THIS EDGE 衡（齐次原理）确定各物理量之间的关系.一个成 IS VERY SHARP 熟的物理学家如果要探究某一个问题，往往是从 定性到半定量至定量的分析过程，从量纲分析 人手 1 从一个故事开始—点源强爆炸 THE BELT IS NOW ABOUT THE SAME TEMPERA- TURE AS THE BALL OF FIRE. 在量纲分析发展历史上一个特别有名的案 图1原子弹爆炸的球形冲击波 例，是第二次世界大战期间英国力学大师G,1 Taylor的点源强爆炸研究，他发现了冲击波球面 他列出了问题的流体力学偏微分方程组，发 半径与时间的2/5成正比的规律，并从照片预测 现这个方程组是非线性的，当时无法求解，怎么 了世界第一颗原子弹的当量，曾引起很大的国际 办？这时Taylor想到借助量纲分析这个有力工 社会反响，害得美国要调查是否有泄密事件.这个 具来研究这个问题. 问题的解决展示了量纲分析解决复杂问题的强大 设空气绝热系数Y(表征空气的可压缩性，无 能力。 量纲)，在爆炸时间t时球形冲击波的波阵面半径 在二战的困难时期，1940年英国著名科学家 是R,波阵面相当于一个球形边界面，内部是超热 George Thomson邀请G.L.Taylor参加一个工作 的火球，外面是正常大气，其密度为%，压强比球 午餐，Thomson是刚成立的英国铀军事应用委员 内压强小几个数量级可以忽略不计.这样，这个复 会的主席，他告诉Taylor英国要制造一种利用核 杂的问题就简化成一个只有5个参量的问题，即 反应产生巨大能量的炸弹，不过那时还没有使用 希望知道球形冲击波的波阵面的半径 原子弹这个名词. R=f(E,Y,po,t) (1) 传统炸弹的机械效能，是通过在有限的空间 这里的符号∫只代表是一种函数关系，不是具体 里短时释放大量高温高压气体获得的.而对于这 的一个函数.下面使用量纲分析来研究一下这些 种新型炸弹，当时的问题是希望了解这种在极端 量之间的关系。 聚焦的没有伴随气体的点源强爆炸的机械效能是 这里有n=5个参量见表1，基本量纲有质量 否与传统的炸弹类似[3). m,长度L和时间t,即j=3. 就在他们这次讨论这个问题之前，英国收到 表1 点源强爆炸参量的量纲 美国著名爆炸专家G.Kistiakovsky①的报告，他认 物理量 R 为即便这种炸弹能爆炸，其威力也没有期望的那 2 么大.到底情况如何需要尽快研究.R.W.Clark 量纲 L MLT-2 1 ML-3 T ①G.K.出生于乌克兰基辅，哈佛大学教授，曾领导研制第一颗原子弹内爆点火的爆炸镜头explosive lens
物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 程式应该与计量物理量的单位无关.这导致一个 重要结论:任何有意义的定律,对于其方程式的每 一个计量单位,都必需是齐次方程式.这个认识的 最终形式成为π 定理,即假设一个有物理意义的 方程式具有n个变数与m 个基本量纲,π 定理描 述怎样将这方程式等价地写成具有n-m 个无量 纲参数的方程式.更重要的是,从给定的变数,这 定理 给 出 了 一 种 能 够 计 算 这 些 无 量 纲 参 数 的 方法. 通过量纲分析可以检查反映物理规律的方程 在计量方面是否合理,即利用物理定律的量纲平 衡(齐次原理)确定各物理量之间的关系.一个成 熟的物理学家如果要探究某一个问题,往往是从 定性到 半 定 量 至 定 量 的 分 析 过 程,从 量 纲 分 析 入手. 1 从一个故事开始———点源强爆炸 在量纲分 析 发 展 历 史 上 一 个 特 别 有 名 的 案 例,是第二次世界大战期间英国 力 学 大 师 G.I. Taylor的点源强爆炸研究,他发现了冲击波球面 半径与时间的2/5成正比的规律,并从照片预测 了世界第一颗原子弹的当量,曾引起很大的国际 社会反响,害得美国要调查是否有泄密事件.这个 问题的解决展示了量纲分析解决复杂问题的强大 能力. 在二战的困难时期,1940年英国著名科学家 GeorgeThomson邀请 G.I.Taylor参加一个工作 午餐,Thomson是刚成立的英国铀军事应用委员 会的主席,他告诉 Taylor英国要制造一种利用核 反应产生巨大能量的炸弹,不过那时还没有使用 原子弹这个名词. 传统炸弹的机械效能,是通过在有限的空间 里短时释放大量高温高压气体获得的.而对于这 种新型炸弹,当时的问题是希望了解这种在极端 聚焦的没有伴随气体的点源强爆炸的机械效能是 否与传统的炸弹类似[3-5]. 就在他们这次讨论这个问题之前,英国收到 美国著名爆炸专家 G.Kistiakovsky①的报告,他认 为即便这种炸弹能爆炸,其威力也没有期望的那 么大.到底情况如何需要尽快研 究.R.W.Clark 在《TheBirthoftheBomb》一书中指出,当时他们 认为全英国只有一个人可以解决这个问题,这个 人就是剑桥大学的 G.I.Taylor教授. 对于这个科学问题,Taylor思考和计算空气 在瞬间爆炸产生的运动和压力.他认为爆炸会产 生一个热冲击波,即一个点源强爆炸瞬间释放巨 大但有限的能量 E,将对其周围的空气进行急剧 的压缩和加温,并以超过声速的球形冲击波向外 急速膨胀. 图1 原子弹爆炸的球形冲击波 他列出了问题的流体力学偏微分方程组,发 现这个方程组是非线性的,当 时 无 法 求 解,怎 么 办? 这时 Taylor想到借助量纲分析这个有力工 具来研究这个问题. 设空气绝热系数γ(表征空气的可压缩性,无 量纲),在爆炸时间t时球形冲击波的波阵面半径 是R,波阵面相当于一个球形边界面,内部是超热 的火球,外面是正常大气,其密度为ρ0,压强比球 内压强小几个数量级可以忽略不计.这样,这个复 杂的问题就简化成一个只有5个参量的问题,即 希望知道球形冲击波的波阵面的半径 R =f(E,γ,ρ0,t) (1) 这里的符号f 只代表是一种函数关系,不是具体 的一个函数.下面使用量纲分析来研究一下这些 量之间的关系. 这里有n=5个参量见表1,基本量纲有质量 m,长度L 和时间t,即j=3. 表1 点源强爆炸参量的量纲 物理量 R E γ ρ0 t 量纲 L ML2T-2 1 ML-3 T 4 ① G.K.出生于乌克兰基辅,哈佛大学教授,曾领导研制第一颗原子弹内爆点火的爆炸镜头explosivelens
物理与工程Vol.26No.62016 根据π定理，可以构造出k=n一3=2个无量 John von Neumann的结果在l947年发表在Los 纲的Ⅱ.取E,t,p为重复变量，有关系 Alamos的Blast Wave报告第二章中) I RE"po"t (2) 同一个问题，苏联参加原子弹研究的L.1.Se Ⅱ2=yEp6t (3) dov也进行过独立研究，结果没有保密而是于 由于y是无量纲量，所以a==入=0，即Ⅱ2=Y 1946年发表在公开的学报上[ 对于几1，有 1.08 MS. 0.10MS dimL,=[L][ML2T-2][ML-3][T](4) 可得到幂次数为 a=-1/5,b=1/5,c=-2/5 (5) 这样就得到Ⅱ I1=RE-1/5po1/5t25 (6) 根据量纲分析理论，就有关系Ⅲ1=S(Ⅱ2)，即 RE-1/5 po1st-2/5 =S(Y) (7) 其中S(Y)是常数，所以就得到球形冲击波的波阵 面的半径 R=S(y)E5-1/5t25 (8) 以上就是Taylor的时间2/5幂次律，冲击波的波 阵面半径是时间的2/5幂次方，后来计算确定 S(y)≈1.033. 从上式可得球形冲击波的波阵面上的速度 (t)=2/5S(y)E5-15t3/5 (9) 可见球形冲击波的波阵面上的速度是变化的，并 且随时间的增大而衰减，当时间很大时速度趋 于零。 球形冲击波的波阵面上的加速度 a(t)=-6/25S(y)E/5-1/5t8/5 (10) 球形冲击波的波阵面上的加速度是变化的，是加 100m. 速度冲击波，也随时间增大而衰减. 图2世界第一颗原子弹Trinity从0.lms至 1.93ms爆炸火球的照片 球形冲击波的波阵面后面的压强 p(t)=C(y)E2s,3/5t-65 (11) 在Taylor(1950)的第二篇论文中[)，他利用 球形冲击波的波阵面上的压强，在爆炸中心附近 1947年美国公开发表的原子弹爆炸火球照片（见 非常大，并随时间迅速衰减 图2)，从中测量出时间和半径，用公式E= 到这里量纲分析的介绍本来可以结束，但与 [S(y)]-5pRt2计算预测了美国第一颗原子弹 此有关的故事在科学技术史上也有一定的意义， 的爆炸当量是 在此顺便介绍.故事是这样的，1941年6月27日 E=7.19×1013J≈1.7万吨TNT当量(12) Taylor给英国有关机构提交了报告.当时参加美 据文献上介绍，预测结果发布后很让美国政府难 国原子弹Manhattan工程的大科学家John von 堪，虽然爆炸照片已经公开了，但这个爆炸当量当 Neumann也研究同一个问题，在提交报告前他在 时是高度绝密的参数.提取照片的数据利用量纲 周末检查报告中的168个公式，于1941年6月30 分析公式预测原子弹的当量是Taylor的一大贡 日（星期一）提交给Los Alamos实验室[6)，比 献，得到了超出科学界的巨大社会效果，所以 Taylor晚了3天！ Taylor的结果特别有名. 由于保密的原因，当时以上两个报告都没有 怎么连公式都不用，Taylor就解决了这个问 公布.Taylor在1950年才容许发表其研究成果， 题？太神奇了！那么，量纲分析到底包括哪些内
物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 根据π定理,可以构造出k=n-3=2个无量 纲的Π.取E,t,ρ0为重复变量,有关系 Π1 =REaρ0 btc (2) Π2 =γEαρ β 0tλ (3) 由于γ是无量纲量,所以α=β=λ=0,即Π2=γ. 对于Π1,有 dimΠ1 = [L][ML2T-2]a [ML-3]b [T]c (4) 可得到幂次数为 a=-1/5, b=1/5, c=-2/5 (5) 这样就得到Π1 Π1 =RE-1/5ρ0 1/5t-2/5 (6) 根据量纲分析理论,就有关系Π1=S(Π2),即 RE-1/5ρ0 1/5t-2/5 =S(γ) (7) 其中S(γ)是常数,所以就得到球形冲击波的波阵 面的半径 R =S(γ)E1/5ρ0 -1/5t2/5 (8) 以上就是 Taylor的时间2/5幂次律,冲击波的波 阵面 半 径 是 时 间 的 2/5 幂 次 方,后 来 计 算 确 定 S(γ)≈1.033. 从上式可得球形冲击波的波阵面上的速度 v(t)=2/5S(γ)E1/5ρ0 -1/5t-3/5 (9) 可见球形冲击波的波阵面上的速度是变化的,并 且随时 间 的 增 大 而 衰 减,当 时 间 很 大 时 速 度 趋 于零. 球形冲击波的波阵面上的加速度 a(t)=-6/25S(γ)E1/5ρ0 -1/5t-8/5 (10) 球形冲击波的波阵面上的加速度是变化的,是加 速度冲击波,也随时间增大而衰减. 球形冲击波的波阵面后面的压强 p(t)=C(γ)E2/5ρ0 3/5t-6/5 (11) 球形冲击波的波阵面上的压强,在爆炸中心附近 非常大,并随时间迅速衰减. 到这里量纲分析的介绍本来可以结束,但与 此有关的故事在科学技术史上也有一定的意义, 在此顺便介绍.故事是这样的,1941年6月27日 Taylor给英国有关机构提交了报告.当时参加美 国原子弹 Manhattan 工程的大科学 家 Johnvon Neumann也研究同一个问题,在提交报告前他在 周末检查报告中的168个公式,于1941年6月30 日(星 期 一)提 交 给 Los Alamos 实 验 室[6],比 Taylor晚了3天! 由于保密的原因,当时以上两个报告都没有 公布.Taylor在1950年才容许发表其研究成果, JohnvonNeumann的结果在1947年发表在 Los Alamos的 BlastWave报告第二章中[7]. 同一个问题,苏联参加原子弹研究的 L.I.Sedov也进 行 过 独 立 研 究,结 果 没 有 保 密 而 是 于 1946年发表在公开的学报上[8]. 图2 世界第一颗原子弹 Trinity从0.1ms至 1.93ms爆炸火球的照片 在 Taylor(1950)的第二篇论文中[5],他利用 1947年美国公开发表的原子弹爆炸火球照片(见 图2),从 中 测 量 出 时 间 和 半 径,用 公 式 E = [S(γ)]-5ρ0R5t-2 计算预测了美国第一颗原子弹 的爆炸当量是 E =7.19×1013J≈1.7万吨 TNT 当量 (12) 据文献上介绍,预测结果发布后很让美国政府难 堪,虽然爆炸照片已经公开了,但这个爆炸当量当 时是高度绝密的参数.提取照片的数据利用量纲 分析公式预测原子弹的当量是 Taylor的一大贡 献,得 到 了 超 出 科 学 界 的 巨 大 社 会 效 果,所 以 Taylor的结果特别有名. 怎么连公式都不用,Taylor就解决了这个问 题? 太神奇了! 那么,量纲分析到底包括哪些内 5
物理与工程Vol.26No.62016 容，如何使用它来解决科学和工程中的问题？下 些问题涉及多个基本物理量： 面就系统介绍量纲分析的理论， 比如，纯力学类系统，只会涉及3个基本量 (质量，长度和时间)，如果考虑温度变化的热力学 2量纲分析的基本概念和π定理 过程就需要加上基本量温度 2.2量纲的幂次定律 量纲分析有它的核心概念和定理，理解它们 量纲是物理量的种类属性，物理量的量纲反 对于灵活使用量纲分析来解决问题非常重要.量 映该物理量随基本量的单位变化而变化的倍数 纲分析核心知识点包括量纲概念、7个基本量纲 物理量的量纲如何来表达，它一般是什么形式？ 单位、量纲幂次定理、量纲一致性定律、π定理、量 在力学系统中，基本量纲有3个，长度L,质量M 纲分析6步法、模型实验与原问题的相似模数都 和时间T,这个系统中的任何的物理量Y都可以 必须相等等概念 表示成Y=L“M心T,其中a,b,c为实数 2.1量纲和基本单位 一个无量纲的纯数A也可以这样表达，只是 任何物理量都有量纲或单位，该物理量的大 其幂次都为零，即A=LMT°.其实这个结果是 小就是这个单位的多少倍，即一个标量乘这个单 一般性的.一个问题的基本量纲一旦确定，其中的 位.如长度10米，其中米是度量这个长度的单位， 任何物理量都可以表达成基本量纲的幂次形式， 而10是这个长度和米所表示的单位长度的比例. 物理量纲的幂次定律：任何物理量的量纲公 很明显，用来度量这个物理量的单位和这个物理 式都是基本量纲的幂次单项式的形式. 量本身一定是同一类型的量，或者说，这些量的量 2.3量纲一致性定律 纲是相同的.长度的量纲我们用L来表示，而不特 苹果（物理量）加雪梨（物理量）等于什么？量 别说明具体是用长度的米、厘米还是毫米，只要是 纲不同的物理量是不能相加的（见图3）， 长度量纲就行」 量纲一致性定律：每个在公式中相加的量其 当然也有一些量是没有量纲，我们就称其为 量纲必须一致 “无量纲”量，如角度和一些导出的量. 物理世界千变万化，看起来非常复杂，但可以 庆幸的是，基本的物理量量纲单位一共只要7个 (见表2)，所以我们有结论：基本的物理量量纲单 图3不同性质的物理量不能相加 位一共只要7个；所有其他的物理量都是其组合 的导出单位 例如，Einstein公式，E=mc2,量纲关系是 ML2T-2=M(L/T)2.如果在推导公式时发现某 表2基本物理量量纲和符号 些项的量纲之间不同，那么一定是推导有误，必须 量的名称 量纲Dimension符号Symbol SI单位 修改以保证公式中的每一项的量纲都一致， 质量 M 加 kg (kilogram) 与量纲一致性原理相关的一个原理是说描 长度 L L m (meter) 写真实世界的物理定律中的物理量与测量这些 时间 T s (second) 物理量的单位无关.比如力学的Newton定律 热力学温度 0 T K (kelvin) F=ma中的质量可以使用kg,也可以使用g,不 电流 A (ampere) 管用什么单位，公式都应该成立，这种与物理量单 发光强度 J C cd (candela) 位无关反映了物理定律一个非常重要的不变性 物质的量 N N mol (mole) 原理 2.4π定理 从一个问题涉及基本物理单位的个数多少基 1914年Buckinghamts.1o发表一篇有关量纲 本可以预测这个问题的复杂程度，当然越多越复 分析的重要定理，由于在论文中使用希腊字母π 杂，但最多就是7个基本的物理单位.近几年来， 表示无量纲量，1922年被美国学者P.W.Bridg 科学界比较关注的多物理问题从本质上看就是这 man在其专著《Dimensional Analysis》)中命名
物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 容,如何使用它来解决科学和工程中的问题? 下 面就系统介绍量纲分析的理论. 2 量纲分析的基本概念和π定理 量纲分析有它的核心概念和定理,理解它们 对于灵活使用量纲分析来解决问题非常重要.量 纲分析核心知识点包括量纲概念、7 个基本量纲 单位、量纲幂次定理、量纲一致性定律、π 定理、量 纲分析6步法、模型实验与原问题的相似模数都 必须相等等概念. 2.1 量纲和基本单位 任何物理量都有量纲或单位,该物理量的大 小就是这个单位的多少倍,即一个标量乘这个单 位.如长度10米,其中米是度量这个长度的单位, 而10是这个长度和米所表示的单位长度的比例. 很明显,用来度量这个物理量的单位和这个物理 量本身一定是同一类型的量,或者说,这些量的量 纲是相同的.长度的量纲我们用 L来表示,而不特 别说明具体是用长度的米、厘米还是毫米,只要是 长度量纲就行. 当然也有一些量是没有量纲,我们就称其为 “无量纲”量,如角度和一些导出的量. 物理世界千变万化,看起来非常复杂,但可以 庆幸的是,基本的物理量量纲单位一共只要7个 (见表2),所以我们有结论:基本的物理量量纲单 位一共只要7个;所有其他的物理量都是其组合 的导出单位. 表2 基本物理量量纲和符号 量的名称 量纲 Dimension 符号Symbol SI单位 质量 M m kg(kilogram) 长度 L L m (meter) 时间 T t s(second) 热力学温度 Θ T K(kelvin) 电流 I I A(ampere) 发光强度 J C cd(candela) 物质的量 N N mol(mole) 从一个问题涉及基本物理单位的个数多少基 本可以预测这个问题的复杂程度,当然越多越复 杂,但最多就是7个基本的物理单位.近几年来, 科学界比较关注的多物理问题从本质上看就是这 些问题涉及多个基本物理量. 比如,纯力学类系统,只会涉 及 3 个 基 本 量 (质量,长度和时间),如果考虑温度变化的热力学 过程就需要加上基本量温度. 2.2 量纲的幂次定律 量纲是物理量的种类属性,物理量的量纲反 映该物理量随基本量的单位变化而变化的倍数. 物理量的量纲如何来表达,它 一 般 是 什 么 形 式? 在力学系统中,基本量纲有3个,长度 L,质量 M 和时间 T,这个系统中的任何的物理量Y 都可以 表示成Y=La MbTc,其中a,b,c为实数. 一个无量纲的纯数 A 也可以这样表达,只是 其幂次都为零,即 A=L0M0T0.其实这个结果是 一般性的.一个问题的基本量纲一旦确定,其中的 任何物理量都可以表达成基本量纲的幂次形式, 物理量纲的幂次定律:任何物理量的量纲公 式都是基本量纲的幂次单项式的形式. 2.3 量纲一致性定律 苹果(物理量)加雪梨(物理量)等于什么? 量 纲不同的物理量是不能相加的(见图3). 量纲一致性定律:每个在公式中相加的量其 量纲必须一致. 图3 不同性质的物理量不能相加 例如,Einstein 公 式,E=mc2,量 纲 关 系 是 ML2T-2=M (L/T)2.如果在推导公式时发现某 些项的量纲之间不同,那么一定是推导有误,必须 修改以保证公式中的每一项的量纲都一致. 与量纲一致性 原 理 相 关 的 一 个 原 理 是 说 描 写真实世界的物理定律中的物理量与测量这些 物 理 量 的 单 位 无 关.比 如 力 学 的 Newton定 律 F=ma中的质量可以使用 kg,也 可 以 使 用 g,不 管用什么单位,公式都应该成立.这种与物理量单 位无关反映了物理定律一个非常重要的不变 性 原理. 2.4 π定理 1914年 Buckingham [9,10]发表一篇有关量纲 分析的重要定理,由于在论文中使用希腊字母π 表示无量纲量,1922年被美国学者 P.W.Bridgman在其专著《DimensionalAnalysis》[11]中命名 6
物理与工程Vol.26No.62016 为Buckinghamπ定理.Bridgman的这部书是他在 续表 哈佛大学给研究生的5次讲座基础上整理而成， 步骤 操作 是世界上第一部量纲分析专著.由于量纲分析理 重复使用j个基本量纲，用于构造每一个无量 论之后没有什么变化，从现代的角度看这部书完 第4步 纲量Ⅱ，这样的无量纲量Ⅱ一共有k=n一 全一点都不过时，多次再版发行，不愧为是一部名 j个. 著.1946年，Bridgman由于高压物理的研究获得 把所得的所有k个无量纲量Ⅱ列出，必要时 诺贝尔物理学奖.有关π定理，据说俄罗斯学者于 第5步 适当整理成无量纲量Ⅱ，并转换成科学界已经 1911年曾独立发现2]. 命名的无量纲量， π定理：设有一个物理关系，f(x1,x2,x3,…, 验证所有的无量纲量Ⅱ，并写出问题的最终量 xn)=0,由一组量纲不同的物理量x1,x2,x3,…, 第6步 纲关系.由于这种关系都是以幂次方形式表 x。所组成.设在这组物理量中有方个量纲是相互 现，所以也称为标度律(scaling law). 独立的，并且选作为基本单位量纲，这个物理关系 一定可以用k=n一j个无量纲量Ⅱ1，Ⅱ2，…，Ⅱ完 应当指出，在第3步中有“猜测j值”，这就给 全表示出来，即 人一种不确定的感觉，从而使量纲分析有些随意 f(L1,Ⅱ2，Ⅱ3，…，Ⅱ)=0 (13) 性，由于这个原因，量纲分析也的确有些技巧或 其中亚由k=一j个x:方程构成，几，=骨x受…x0, “艺术”成分.一个复杂问题通过量纲分析解决后 这里的j不能是任意多，基本量纲单位只要7 往往会给人一种智慧的冲击和享受，所以好的量 个，所以j的最大值是7，一般情况下≤7.但在定 纲分析结果一般都是科学大作」 向量纲分析中，可以通过引入长度的方向性，增加 2.6量纲分析的难点 基本量纲，但本质上也没有增加物理基本单位，仍 虽然π定理给出了构造无量纲量Ⅱ的一般方 然是7个.从以上的π定理的表述看，可能给人的 法，但人们在使用中会感到一定的困难 感觉是量纲分析很困难.其实只要对问题有比较 (1)如何确定问题的物理量，就是参量n的问 好的物理了解，使用下面的6步法，就可以较快地 题.在一个物理问题中究竞哪些是必要的物理量， 得到问题的标度律或相似关系。 有时很难决定，特别是新的科学问题，问题本身可 2.5量纲分析的6步法 能还没有确定，多余地加进一些关系不大的物理 π定理给出了构造无量纲量Ⅱ的一般方法， 量，常常给我们增加很多分析的复杂性，但过少的 在此基础上人们总结出一个简单的6步方法[]列 物理量显然不能解决问题.这里就需要有高深的 于表3. 科学修养，具体问题具体分析，这个地方就有“技 表3量纲分析的6步法 巧”和“艺术”的成分.量纲分析需要非常丰富的物 理知识和对问题的深刻理解」 步骤 操作 (2)如何决定作为基本量纲的物理量，就是方 列出问题所有的参量（有量纲的变量，无量纲 值的问题.在n个参量中，选j个量作为基本量， 变量和常数)并计算其个数.设一共有n个参 第1步 这时到底选哪个量作为基本量，就是一个很关键 量，要保证任何在此列出的参量都是独立的， 不能用其他量表示。 的问题，显然不同的选择，会构造出不同的一组无 量纲量Ⅱ.这个重要的问题可惜没有一个标准和 列出所有n个参量量纲中的量纲（注意基本 第2步 规律可循，从而不同人会得到不同的结果.这就有 量纲单位最多只有7个！). 结果好坏的问题，是量纲分析中难度系数最大的 猜测j个“重复变量”(j又称reduction减少 问题 值，最多只有7个).作为第一次猜测，取j值 (3)无量纲量Ⅱ不是唯一的，其相互的乘除 等于问题中基本量纲的个数，即第2步中的 第3步 和幂次都是无量纲量！这时需要把导出的无量纲 基本量纲数.根据Buckinghamπ定理，可以构 造k=n一j个无量纲量Ⅱ.如果得到的结果有 量与历史上科学界已经命名的参量比较，并改写 问题，需要改变值再重复推导， 成该量的传统表示 以上是量纲分析学习和使用时的难点，必须
物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 为Buckinghamπ定理.Bridgman的这部书是他在 哈佛大学给研究生的5次讲座基础上整理而成, 是世界上第一部量纲分析专著.由于量纲分析理 论之后没有什么变化,从现代的角度看这部书完 全一点都不过时,多次再版发行,不愧为是一部名 著.1946年,Bridgman由于高压物理的研究获得 诺贝尔物理学奖.有关π定理,据说俄罗斯学者于 1911年曾独立发现[12]. π定理:设有一个物理关系,f(x1,x2,x3,…, xn)=0,由一组量纲不同的物理量 x1,x2,x3,…, xn 所组成.设在这组物理量中有j个量纲是相互 独立的,并且选作为基本单位量纲,这个物理关系 一定可以用k=n-j个无量纲量Π1,Π2,…,Πk 完 全表示出来,即 f(Π1,Π2,Π3,…,Πk)=0 (13) 其中Πi 由k=n-j个xi 方程构成,Πi=xa11xa22 …xann . 这里的j不能是任意多,基本量纲单位只要7 个,所以j的最大值是7,一般情况下j≤7.但在定 向量纲分析中,可以通过引入长度的方向性,增加 基本量纲,但本质上也没有增加物理基本单位,仍 然是7个.从以上的π定理的表述看,可能给人的 感觉是量纲分析很困难.其实只要对问题有比较 好的物理了解,使用下面的6步法,就可以较快地 得到问题的标度律或相似关系. 2.5 量纲分析的6步法 π定理给出了构造无量纲量Π 的一般方法, 在此基础上人们总结出一个简单的6步方法[13]列 于表3. 表3 量纲分析的6步法 步骤 操作 第1步 列出问题所有的参量(有量纲的变量,无量纲 变量和常数)并计算其个数.设一共有n个参 量,要保证任何在此列出的参量都是独立的, 不能用其他量表示. 第2步 列出所有n 个参量量纲中的量纲(注意基本 量纲单位最多只有7个!). 第3步 猜测j个“重复 变 量”(j又 称reduction减 少 值,最多只有7个).作为第一次猜测,取j值 等于问题中基本量纲的个数,即第2步中的 基本量纲数.根据 Buckinghamπ定理,可以构 造k=n-j个无量纲量Π.如果得到的结果有 问题,需要改变j值再重复推导. 续表 步骤 操作 第4步 重复使用j个基本量纲,用于构造每一个无量 纲量Π,这 样 的 无 量 纲 量 Π 一 共 有k=nj个. 第5步 把所得的所有k个无量纲量Π 列出,必要时 适当整理成无量纲量Π,并转换成科学界已经 命名的无量纲量. 第6步 验证所有的无量纲量Π,并写出问题的最终量 纲关系.由于这种关系都是以幂次方形式表 现,所以也称为标度律(scalinglaw). 应当指出,在第3步中有“猜测j值”,这就给 人一种不确定的感觉,从而使量纲分析有些随意 性,由于这个原因,量纲分析 也 的 确 有 些 技 巧 或 “艺术”成分.一个复杂问题通过量纲分析解决后 往往会给人一种智慧的冲击和享受,所以好的量 纲分析结果一般都是科学大作. 2.6 量纲分析的难点 虽然π定理给出了构造无量纲量Π 的一般方 法,但人们在使用中会感到一定的困难[14]. (1)如何确定问题的物理量,就是参量n的问 题.在一个物理问题中究竟哪些是必要的物理量, 有时很难决定,特别是新的科学问题,问题本身可 能还没有确定.多余地加进一些关系不大的物理 量,常常给我们增加很多分析的复杂性,但过少的 物理量显然不能解决问题.这里就需要有高深的 科学修养,具体问题具体分析,这个地方就有“技 巧”和“艺术”的成分.量纲分析需要非常丰富的物 理知识和对问题的深刻理解. (2)如何决定作为基本量纲的物理量,就是j 值的问题.在n 个参量中,选j个量作为基本量, 这时到底选哪个量作为基本量,就是一个很关键 的问题,显然不同的选择,会构造出不同的一组无 量纲量Π.这个重要的问题可惜没有一个标准和 规律可循,从而不同人会得到不同的结果.这就有 结果好坏的问题,是量纲分析中难度系数最大的 问题. (3)无量纲量 Π 不是唯一的,其相互的乘除 和幂次都是无量纲量! 这时需要把导出的无量纲 量与历史上科学界已经命名的参量比较,并改写 成该量的传统表示. 以上是量纲分析学习和使用时的难点,必须 7
物理与工程Vol.26No.62016 通过实践训练才能掌握好这个工具.学术上讲，其 个.作为第一次猜测，取j值等于问题中基本量纲 中的一些问题只有通过相似论来解决.但是，应用 的个数，即j=3.这样我们就有k=n一j=6一3= 相似论，就要求使用物理问题的基本方程.在很多 3,这样就会有k=3个无量纲量Ⅱ. 实际问题中，问题的基本方程常常还不很明白.在 第4步：j值是3，我们要从6个参量中选择3 这些没有基本方程的复杂问题中，量纲分析就比 个作为问题的重复变量，无量纲的攻角不选，因变 较有用.所以，如果你研究的问题非常复杂，还没 量x。不选，动力粘度：已经包含了所有的基本量 有搞得太明白，最好不要贸然开始，建议先用量纲 纲L,M,T,我们取D,v,p作为重复变量. 分析试试问题的深浅. 第5步：把所有的k个无量纲量Ⅱ列出，必 确定重复变量是量纲分析的难点，一般情况 要时适当整理无量纲量Ⅱ转化成科学界已经命名 要从物理上思考才会比较准确.比如管道中流体 的无量纲量， 流动摩擦阻力的问题，其中有管道、液体和流动3 我们把xx与重复变量做一个乘积，重复变量 个因素，它们的相互作用导致摩擦阻力，重复变量 的幂次为待定. 就必须包括管道和流动液体两个方面，所以可以 I1=twv"D'p 取管道的直径D、液体的密度p和流动速度v作 dimΠ1=MLT-2(LT广1)“(L)b(ML-3)(15) 为重复变量 把表中的参量基本量纲代入到上式，并注意Ⅱ是 无量纲量，得到合并同类项，两边同一量的幂次必 3管内液体流动的摩擦阻力 须相等，得到待定常数a=一2，b=0,c=一1. 把确定的a和b代入到Ⅱ，得到这个问题Ⅱ 设一个圆管（见图4）的直径为D,不完全光 I T (16) 滑有粗糙度ε（长度量纲），流体的密度是P,流动速 u 度v,动力粘度4，摩擦切应力x(是摩擦阻力的来 其中的Ⅱ，改写成传统的Darcy摩擦阻力因子fn 源)，问题是需要确定x与其他量的关系. I1.mdific= 8xw一=fD (17) 200A 类似，我们用空气粘度μ代替τ如，重复计算就可 以得到Ⅱ2 Ⅱ2=pw“vp dimⅡ2=ML-1T-1(LT-1)a(L)(ML-3)(18) 图4管流的摩擦阻力 可以得到另一组a=一1，b=-1,c=-1,所以 几2=4 第1步：列出问题所有的参量（有量纲的变 PuD (19) 量，无量纲变量和常数)并计算其个数，设一共有n 这个Ⅱz就是Reynolds常数Re的倒数，可以修改 个参量 成传统表示 对于这个问题，我们有6个参量，即n=6.这 I.-euD =Re (20) 个问题的目的就是要确定关系 同样可以得到第3个Ⅱ，就是粗糙度8与管直径 tw=f(v,e,p,u,D) (14) 的比值，传统称为粗糙度系数 第2步：列出所有个参量的量纲（见表4） (21) 表4管流参量的量纲 4-8 物理量 Tw D 第6步：验证所有的无量纲量Ⅱ，并写出问题 量纲 ML-T-:LT-L ML-ML-T- 的最终量纲关系. Ⅱ1.md=f(L2.nd,L3） (22) 第3步：这个问题的基本量纲有L,M,T共3 得到摩擦阻力系数为
物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 通过实践训练才能掌握好这个工具.学术上讲,其 中的一些问题只有通过相似论来解决.但是,应用 相似论,就要求使用物理问题的基本方程.在很多 实际问题中,问题的基本方程常常还不很明白.在 这些没有基本方程的复杂问题中,量纲分析就比 较有用.所以,如果你研究的问题非常复杂,还没 有搞得太明白,最好不要贸然开始,建议先用量纲 分析试试问题的深浅. 确定重复变量是量纲分析的难点,一般情况 要从物理上思考才会比较准确.比如管道中流体 流动摩擦阻力的问题,其中有管道、液体和流动3 个因素,它们的相互作用导致摩擦阻力,重复变量 就必须包括管道和流动液体两个方面,所以可以 取管道的直径 D、液体的密度ρ和流动速度v 作 为重复变量. 3 管内液体流动的摩擦阻力 设一个圆管(见图4)的直径为 D,不完全光 滑有粗糙度ε(长度量纲),流体的密度是ρ,流动速 度v,动力粘度μ,摩擦切应力τw(是摩擦阻力的来 源),问题是需要确定τw 与其他量的关系. 图4 管流的摩擦阻力 第1步:列出问题所有的参量(有量纲的变 量,无量纲变量和常数)并计算其个数,设一共有n 个参量. 对于这个问题,我们有6个参量,即n=6.这 个问题的目的就是要确定关系 τw =f(v,ε,ρ,μ,D) (14) 第2步:列出所有n个参量的量纲(见表4). 表4 管流参量的量纲 物理量 τw v ε ρ μ D 量纲 ML-1T-2 LT-1 L ML-3 ML-1T-1 L 第3步:这个问题的基本量纲有L,M,T 共3 个.作为第一次猜测,取j值等于问题中基本量纲 的个数,即j=3.这样我们就有k=n-j=6-3= 3,这样就会有k=3个无量纲量Π. 第4步:j值是3,我们要从6个参量中选择3 个作为问题的重复变量,无量纲的攻角不选,因变 量τw 不选,动力粘度μ已经包含了所有的基本量 纲 L,M,T,我们取D,v,ρ作为重复变量. 第5步:把所有的k 个无量纲量Π 列出,必 要时适当整理无量纲量Π 转化成科学界已经命名 的无量纲量. 我们把τw 与重复变量做一个乘积,重复变量 的幂次为待定. Π1 =τwvaDbρ c → dimΠ1 = MLT-2 (LT-1)a (L)b (ML-3)c (15) 把表中的参量基本量纲代入到上式,并注意 Π 是 无量纲量,得到合并同类项,两边同一量的幂次必 须相等,得到待定常数a=-2,b=0,c=-1. 把确定的a和b 代入到Π,得到这个问题Π Π1 = τw ρv2 (16) 其中的Π1 改写成传统的 Darcy摩擦阻力因子fD Π1,modified = 8τw 1 2ρv2A =fD (17) 类似,我们用空气粘度μ代替τw,重复计算就可 以得到Π2 Π2 =μvavbρ c → dimΠ2 = ML-1T-1 (LT-1)a (L)b (ML-3)c (18) 可以得到另一组a=-1,b=-1,c=-1,所以 Π2 = μ ρvD (19) 这个Π2 就是 Reynolds常数Re的倒数,可以修改 成传统表示 Π2,modiefied =ρvD μ =Re (20) 同样可以得到第3个Π3,就是粗糙度δ与管直径 的比值,传统称为粗糙度系数 Π3 = ε D (21) 第6步:验证所有的无量纲量Π,并写出问题 的最终量纲关系. Π1,modified =f(Π2,modified,Π3) (22) 得到摩擦阻力系数为 8
9 物理与工程Vol.26No.62016 (4)基本单位最多只有=7个，力学系统的 fD= (23) 1 基本单位才有=3个（长度，质量和时间），对于 力学系统来讲，如果问题有n=4个参量，就可以 对于这个问题，我们没有建立问题的方程更 得到一个Ⅱ，这种情况是最好的，因为只有一个Ⅱ， 没有求解，得到了摩擦阻力因子与粗糙度系数的 它就只能是一个常数，所有的量就不再隐含在函 关系公式，很神奇！当然，量纲分析不能完全确定 数里了，比如肥皂泡的例子的Ⅱ就是一个常数 一切，待定常数F(Re,E/D),它必须通过其他方法 这里就出现一个问题，是不是可以在量纲分 (如试验)确定」 析的框架下，通过合理增加一些基本量纲，从而减 对于粗糙度系数ε/D为零的管流，在层流情 少问题的Ⅱ个数，达到简化问题的目的？ 况下fD=64/Re:对于湍流是不同的结果fD= Huntley提出定向量纲(Directed Dimension) 0.316Re-14 概念[)，Siano提出(orientational analysis)取向 对于速度v很大的极限情况，可认为R→ 分析6.1门. o∞，对于这个问题F(Re,e/D)就只是粗糙度系数 具体讲，Huntley的定向量纲基本思想有 E/D函数. 2点： 如果管道完全光滑即粗糙度系数为零，即 (1)考虑矢量的大小和方向，原来只考虑大 fDl./D0=f(0)=C (24) 小.如沿x方向上的长度记成Lx,x坐标方向的速 这时摩擦阻力因子fD是常数！即有切应力m= 度记成vx=L./1, Co2,其中C是常数. (2)区分物质质量(m:)和惯性质量(m,)的 量纲 4定向量纲分析 Siano的取向分析，特别引进方向符号l,、l,、 1.代表3个方向，没有方向的标量使用符号1。.这 以上介绍的通常量纲分析除了本文2.6节的 样Huntley的L,就可以表达成L,=Ll,也可以 难点外，还有些先天不足，比如说长度和速度的方 表示角度和三角函数等 向无法表示，这就使运用量纲分析处理一些固体 4.1炮弹的水平距离 力学问题时有一定的限制，在固体力学中量纲分 问题：炮弹在高处为H处用初始速度平 析不很成功，量纲分析需要改进，需要引进定向量 射，求抛到地面的水平距离R.炮弹在以v抛出 纲的概念11.量纲分析的一些不合理的地方是： 后，在地球引力（重力）的作用下靠惯性飞行，这个 (1)角度由于是无量纲量，它只能隐含在待 问题的参量有H,v,R和重力加速度g,即有n=4 定函数中，它本身无法进行量纲分析，比如研究机 个参量（见表5）. 翼升力的攻角a,只能隐含地表现在函数f(a)中， 表5炮弹平射参量的量纲 但无法从中提取出来。 物理量 个 g (2)所有的应变都是无量纲量，与角度类似 量纲 1 LT-1 LT-2 其本身无法进行量纲分析，只能隐含在待定函数 中，弹性应变与塑性应变量纲也一样，无法区分开 从中可以看出，这个问题的基本量纲是长度 来.而固体力学中应变无处不在，这可能是通常量 L和时间t,即j=2,所以本问题有k=n一j=2个 纲分析在固体力学中应用不理想的一个原因. 无量纲Ⅱ： (3)有些物理量本身之间没有什么联系，但 II=Ru"Hb=R/H (25) 其量纲却相同，在量纲分析中无法把它们分开.例 II2 gu"H"=gH/v (26) 如物质质量和惯性质量的量纲都是M,无法区分 所以有关系 它们：频率，应变率，角速度的量纲都是T-:所有 R/H=f(gH/) (27) Young弹性模量、剪切模量、应力的量纲都是 这就是使用通常量纲分析获得的结果.关系式(27) LMT-2;角动量的变化率、能量和梁板壳弯矩的 只能告诉我们水平距离R与初始高度H成正比， 量纲都是L2MT-2. 无法给出与初始速度的明确关系信息，我们不满
物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 fD = 8τw 1 2ρv2A =F æRe,ε è ç ö ø ÷ D (23) 对于这个问题,我们没有建立问题的方程更 没有求解,得到了摩擦阻力因子与粗糙度系数的 关系公式,很神奇! 当然,量纲分析不能完全确定 一切,待定常数F(Re,ε/D),它必须通过其他方法 (如试验)确定. 对于粗糙度系数ε/D 为零的管流,在层流情 况下fD =64/Re;对 于 湍 流 是 不 同 的 结 果 fD = 0.316Re-1/4. 对于速 度v 很 大 的 极 限 情 况,可 认 为 Re→ ∞,对于这个问题F(Re,ε/D)就只是粗糙度系数 ε/D 函数. 如果管道完全光滑即粗糙度系数为零,即 fD v→∞,δ/D→0 =f(0)=C (24) 这时摩擦阻力因子fD 是常数! 即有切应力τw = Cρv2,其中C 是常数. 4 定向量纲分析 以上介绍的通常量纲分析除了本文2.6节的 难点外,还有些先天不足,比如说长度和速度的方 向无法表示,这就使运用量纲分析处理一些固体 力学问题时有一定的限制,在固体力学中量纲分 析不很成功,量纲分析需要改进,需要引进定向量 纲的概念[14-17].量纲分析的一些不合理的地方是: (1)角度由于是无量纲量,它只能隐含在待 定函数中,它本身无法进行量纲分析,比如研究机 翼升力的攻角α,只能隐含地表现在函数f(α)中, 但无法从中提取出来. (2)所有的应变都是无量纲量,与角度类似 其本身无法进行量纲分析,只能隐含在待定函数 中,弹性应变与塑性应变量纲也一样,无法区分开 来.而固体力学中应变无处不在,这可能是通常量 纲分析在固体力学中应用不理想的一个原因. (3)有些物理量本身之间没有什么联系,但 其量纲却相同,在量纲分析中无法把它们分开.例 如物质质量和惯性质量的量纲都是 M,无法区分 它们;频率,应变率,角速度的量纲都是 T-1;所有 Young弹 性 模 量、剪 切 模 量、应 力 的 量 纲 都 是 LMT-2;角动量的变化率、能量和梁板壳弯矩的 量纲都是 L2MT-2. (4)基本单位最多只有j=7个,力学系统的 基本单位才有j=3个(长度,质量和时间),对于 力学系统来讲,如果问题有n=4个参量,就可以 得到一个Π,这种情况是最好的,因为只有一个Π, 它就只能是一个常数,所有的量就不再隐含在函 数里了,比如肥皂泡的例子的Π 就是一个常数. 这里就出现一个问题,是不是可以在量纲分 析的框架下,通过合理增加一些基本量纲,从而减 少问题的Π 个数,达到简化问题的目的? Huntley提出定向量纲(DirectedDimension) 概念[15],Siano提 出 (orientationalanalysis)取 向 分析[16,17]. 具体 讲,Huntley 的 定 向 量 纲 基 本 思 想 有 2点: (1)考虑矢量的大小和方向,原来只考虑大 小.如沿x方向上的长度记成Lx,x坐标方向的速 度记成vx=Lx/t, (2)区分物 质 质 量 (mi)和 惯 性 质 量 (ms)的 量纲. Siano的取向分析,特别引进方向符号lx、ly、 lz 代表3个方向,没有方向的标量使用符号l0.这 样 Huntley的Lx 就可以表达成Lx =Llx.也可以 表示角度和三角函数等. 4.1 炮弹的水平距离 问题:炮弹在高处为 H 处用初始速度v 平 射,求抛到地面 的 水 平 距 离 R.炮 弹 在 以v 抛 出 后,在地球引力(重力)的作用下靠惯性飞行,这个 问题的参量有 H,v,R 和重力加速度g,即有n=4 个参量(见表5). 表5 炮弹平射参量的量纲 物理量 H v R g 量纲 L LT-1 L LT-2 从中可以看出,这个问题的基本量纲是长度 L 和时间t,即j=2,所以本问题有k=n-j=2个 无量纲Π: Π1 =RvaHb =R/H (25) Π2 =gvaHb =gH/v2 (26) 所以有关系 R/H =f(gH/v2) (27) 这就是使用通常量纲分析获得的结果.关系式(27) 只能告诉我们水平距离R 与初始高度 H 成正比, 无法给出与初始速度的明确关系信息,我们不满 9
10 物理与工程Vol.26No.62016 足这个结果，希望获得更多的信息」 显然，如果极限f(∞)存在，α必须是一个常数，在 让我们区分速度的方向，以及水平距离和高 最简单的情况可以取幂指数α=1. 度方向.问题的参量有H、、R和重力加速度g, 即有n=4个参量（见表6） 6小球在黏性液体中运动的速度 表6炮弹平射扩充参量的量纲 假如有一个小球(Reynolds数非常小)在黏性 物理量 R 液体中自由下落或上升（见图5），它的速度起初被 量纲 L,T-I LT- 加速，但是，由于液体的黏性阻力随速度的增加而 同一个问题，仍然有4个参量，但基本量纲多 增加，小球的速度越来越低最后达到一个速度， 了，现在是3个(Lx,L,,t),这时就只有一个无量 现在的问题是如何确定这个速度？这个问题如果 纲Ⅱ： 利用流体力学的方程来精确求解，其实是非常困 难的，这里使用量纲分析来分析这个问题， Ⅱ=RuHg=Ru-1√g/H (28) 由于式(28)只有一个Ⅱ，所以这个Ⅱ必须是常数 C,问题的解答是 R=Cu√H/g (29) 讨论：式(29)只有一个待定常数，物理关系非常 简单，R与H的关系是抛物线关系，理论推导知 道其中的常数C=2. 图5小球在黏性液体中运动 5量纲分析的不完全相似问题 从物理直觉上，小球运动受到浮力和液体阻 还有一些问题，其中有的Ⅱ非常大而同时有 力的联合作用，显然这个速度问题与以下几个物 些Ⅱ又非常小，出现所谓的奇性问题.比如在以上 理量有关系，具体是什么关系目前不知道.这些相 的例子中曾看到雷诺R很大的情况.这需要引进 关物理量是，小球的特征尺度为R(小球不一定必 量纲分析的不完全相似概念. 须是圆球！如果是圆球，特征尺度R就是圆球的 以上讨论的量纲分析属于完全相似的情况， 半径)，P,P分别是小球和液体介质的密度，4是 如果其中的无量纲Ⅱ趋于无限大或零，这时的量 液体的动力黏性系数，由于是自由落体显然与重 纲分析属于非完整相似情况，这种情况的相似性 力加速度g有关.这些参量的量纲列于表7 一般将被破坏.为了也可以近似处理这类问题的 表7小球在黏性液体中运动问题的各参量的量纲 相似性，G.Bareblatt在1979年提出一种处理这 物理量 R 类相似性的渐进方法[1 量纲LT-1LT-2ML-3ML-3ML.-11L 其基本思想是，比如，不失一般性这里只举有 3个Ⅱ的情况.如一个问题按正常操作得到无量 这个问题可以表示成 纲关系 =f(p.pr'u,R,g) (33) Ⅱ1=f(Ⅱ2，Ⅱ3) (30) 从物理上看，下落的速度应当与小球与液体的密 假如在Ⅱ2→0的情况下Ⅱ1的极限存在，现在的问 度差△p=p,一Pr成比例，这样上式可以改写成 题是Ⅱ，可以是什么形式？类似使用函数的Tay v=f(△0，，R,g入 (34) lor级数展开，Barenblatt建议式(30)改成如下形式 不使用以上方法，直接设速度)可以表达成以下 L1=(Ⅱ2)°f(Ⅱ3) (31) 幂指数的形式 其中式(31)的幂次α是待定常数 v=CR(p,-Pr)μg (35) 如果Ⅱ→∞的极限也存在，式(31)可以改写成 其中C是一个常数.把这些参量的量纲代人这个 Π1=（Ⅱ2）f(∞) (32) 关系，根据量纲一致性原理，得到用α表示的其他
物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 足这个结果,希望获得更多的信息. 让我们区分速度的方向,以及水平距离和高 度方向.问题的参量有 H、v、R 和重力加速度g, 即有n=4个参量(见表6). 表6 炮弹平射扩充参量的量纲 物理量 H v R g 量纲 Ly LxT-1 L1 x L1 yT-2 同一个问题,仍然有4个参量,但基本量纲多 了,现在是3个(Lx,Ly,t),这时就只有一个无量 纲Π: Π =RvaHbg c =Rv-1 g/H (28) 由于式(28)只有一个Π,所以这个 Π 必须是常数 C,问题的解答是 R =Cv H/g (29) 讨论:式(29)只有一个待定常数,物理关系非常 简单,R 与 H 的关系是抛物线关系,理论推导知 道其中的常数C=2. 5 量纲分析的不完全相似问题 还有一些问题,其中有的 Π 非常大而同时有 些Π 又非常小,出现所谓的奇性问题.比如在以上 的例子中曾看到雷诺Re很大的情况.这需要引进 量纲分析的不完全相似概念. 以上讨论的量纲分析属于完全相似的情况, 如果其中的无量纲Π 趋于无限大或零,这时的量 纲分析属于非完整相似情况,这种情况的相似性 一般将被破坏.为了也可以近似处理这类问题的 相似性,G.Bareblatt在1979年提出一种处理这 类相似性的渐进方法[18]. 其基本思想是,比如,不失一般性这里只举有 3个Π 的情况.如一个问题按正常操作得到无量 纲关系 Π1 =f(Π2,Π3) (30) 假如在Π2→0的情况下Π1 的极限存在,现在的问 题是Π1 可以是什么形式? 类似使用函数的 Taylor级数展开,Barenblatt建议式(30)改成如下形式 Π1 = (Π2)αf(Π3) (31) 其中式(31)的幂次α是待定常数. 如果Π3→∞的极限也存在,式(31)可以改写成 Π1 = (Π2)αf(∞) (32) 显然,如果极限f(∞)存在,α必须是一个常数,在 最简单的情况可以取幂指数α=1. 6 小球在黏性液体中运动的速度 假如有一个小球(Reynolds数非常小)在黏性 液体中自由下落或上升(见图5),它的速度起初被 加速,但是,由于液体的黏性阻力随速度的增加而 增加,小球的速度越来越低最后达到一个速度v, 现在的问题是如何确定这个速度? 这个问题如果 利用流体力学的方程来精确求解,其实是非常困 难的,这里使用量纲分析来分析这个问题. 图5 小球在黏性液体中运动 从物理直觉上,小球运动受到浮力和液体阻 力的联合作用,显然这个速度问题与以下几个物 理量有关系,具体是什么关系目前不知道.这些相 关物理量是,小球的特征尺度为R(小球不一定必 须是圆球! 如果是圆球,特征尺度 R 就是圆球的 半径),ρs、ρf 分别是小球和液体介质的密度,μ是 液体的动力黏性系数,由于是自由落体显然与重 力加速度g有关.这些参量的量纲列于表7. 表7 小球在黏性液体中运动问题的各参量的量纲 物理量 v g ρs ρf μ R 量纲 LT-1 LT-2 ML-3 ML-3 ML-1t-1 L 这个问题可以表示成 v=f(ρs,ρf,μ,R,g) (33) 从物理上看,下落的速度应当与小球与液体的密 度差Δρ=ρs-ρf 成比例,这样上式可以改写成 v=f(Δρ,μ,R,g) (34) 不使用以上方法,直接设速度v 可以表达成以下 幂指数的形式 v=CRa (ρs -ρf)bμ cg d (35) 其中C 是一个常数.把这些参量的量纲代入这个 关系,根据量纲一致性原理,得到用a表示的其他 10
物理与工程Vol.26No.62016 幂指数b=(2a一1)/3，c=(1一2a)/3,d=(1+a)/ (43) 3,所以有关系 志-j) u=CR(a,-P)号g寺学 (36) 其中Fe=(△puR)/μ=p,R/μ-PR/.应当指 现在的问题是如何确定其中的α？再从物理上考 出，这个关系式(43)是普遍适用的关系，但不能给 虑，引起小球运动的单位体积浮力是(0一P)g,所 出特别多的信息，对于微小的小球，→0非常 小，根据Barenblatt的不完全相似理论，上面的关 以上式中的(p,一Pr)必须与g具有相同的幂指 系可近似处理成 数，即 2a-1=1十a (37) Rg ≈CRe=C(p,R/μ-PrR/r)(44) 3 3 从而得到小球的速度v=CRe=C(A,一Pr)gR/μ， 可以得到a=2.至此，就得到了小球下落或上升的 与式(38)完全相同. 速度 这里的关系也可以从物理上进一步理解，浮 v-CRi(p.-ep8 (38) 力F。是正比于尺度R3,F,阻力是正比于尺度R, 对于圆球情况，理论上可以确定C=2/9,这就是 所以小球运动速度正比于尺度R. 著名的Stokes公式.不过与理论推导相比，这里 7结语 推导的简单程度简直难以置信.从这个表达式可 以看出，小球下落或上升的速度与小球的体积即 本文系统介绍了量纲分析方法的基本概念和 R尺度成正比，与密度差△成正比，特别是小球 理论，通过实例展示了量纲分析的强大功能和获 密度大于液体时小球下落，反过来，小球上升. 得结果的普适性.从以上的几个例子可以看到，不 物理上，在这个速度，小球运动处于浮力F 用公式就可以得到有关的结果，这往往也会给人 与液体阻力F:相互平衡即相等的状态F。=F: 产生一个错误的感觉，就是量纲分析和应用好像 (见图5). 非常容易，但实际应用的时候又觉得无从下手，好 对于小球是完全的球形，这时其浮力F。根据 像是一门“艺术” 阿基米德定律得到 为了可以更好地使用量纲分析方法，特别提 F.=a-pg专R (39) 醒读者注意以下几点： 利用式(38)，浮力的表达式可以改写成速度的函 (1)不用公式但需要对问题有深刻的理解： 使用量纲分析方法的核心是取决于你对于所研究 数如下 问题的物理过程的理解深度，理解越深参量选择 4 F:(p.-erg3R-6xpRo (40) 越准确，越能得到有价值的结果： 所以，可以得到小球在黏性液体中运动的阻力为 (2)需要与其他方法结合：量纲分析只能给 Fa=6πRo (41) 出问题的普适结果，不能完全确定其中的全部关 这就是著名的Stokes阻力公式，它是由G.G. 系，需要结合其他方法（实验、理论分析或数值计 Stokes于1851年推导出来.不要看这个公式简 算)进一步确定其中的系数； 单，但它对许多研究至关重要，据Dusenbery介 (3)对结果要进行物理分析：对于量纲分析 绍，这个公式已至少产生3项诺贝尔奖] 得出的结果，一定要从物理上进行分析，以期可以 进一步简化. 可能你已经注意到，如果我们使用6步法，对 于，△p,,R,g这5个参量，我们可以得到2个无 应当指出，量纲分析方法可以应用到各种各 样的科学问题，有关在其他方面的应用，请参考文 量纲的Ⅱ，即 献[20-23]. =竖，=六示 (42) 致谢：感谢清华大学教授陈难先院士把我推 根据π定律，我们可以得到关系Ⅱ1=f(Ⅱ2)，也可 荐给《物理与工程》，感谢王青主编的约稿邀请，以 以写成1/Π1=f(1/Ⅱ2)，即 及编辑部主任钱飒飒对我准备论文时的协助
物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 幂指数b=(2a-1)/3,c=(1-2a)/3,d=(1+a)/ 3,所以有关系 v=CRa (ρs -ρf) 2a-1 3 g 1+a 3 μ 1-2a 3 (36) 现在的问题是如何确定其中的a? 再从物理上考 虑,引起小球运动的单位体积浮力是(ρs-ρf)g,所 以上式中的 (ρs -ρf)必须与 g 具 有 相 同 的 幂 指 数,即 2a-1 3 = 1+a 3 (37) 可以得到a=2.至此,就得到了小球下落或上升的 速度 v=C R2(ρs -ρf)g μ (38) 对于圆球情况,理论上可以确定C=2/9,这就是 著名的 Stokes公式.不过与理论推导相比,这里 推导的简单程度简直难以置信.从这个表达式可 以看出,小球下落或上升的速度与小球的体积即 R2 尺度成正比,与密度差Δρ成正比,特别是小球 密度大于液体时小球下落,反过来,小球上升. 物理上,在这个速度,小球运动处于浮力 Fg 与液体阻力Fd 相互平衡即相等的状态Fd =Fg (见图5). 对于小球是完全的球形,这时其浮力Fg 根据 阿基米德定律得到 Fg = (ρs -ρf)g 4 3 πR3 (39) 利用式(38),浮力的表达式可以改写成速度的函 数如下 Fg = (ρs -ρf)g 4 3 πR3 =6πμRv (40) 所以,可以得到小球在黏性液体中运动的阻力为 Fd =6πμRv (41) 这就 是 著 名 的 Stokes阻 力 公 式,它 是 由 G.G. Stokes于 1851 年推导出来.不要看这 个 公 式 简 单,但 它 对 许 多 研 究 至 关 重 要,据 Dusenbery 介 绍,这个公式已至少产生3项诺贝尔奖[19]. 可能你已经注意到,如果我们使用6步法,对 于v,Δρ,μ,R,g这5个参量,我们可以得到2个无 量纲的Π,即 Π1 = Rg v2 , Π2 = μ ΔρvR (42) 根据π定律,我们可以得到关系Π1=f(Π2),也可 以写成1/Π1=f(1/Π2),即 v2 Rg =f(R췍e) (43) 其中 R췍e=(ΔρvR)/μ=ρsvR/μ-ρfvR/μ.应 当 指 出,这个关系式(43)是普遍适用的关系,但不能给 出特别多的信息.对于微小的小 球,R췍e→0 非 常 小,根据 Barenblatt的不完全相似理论,上面的关 系可近似处理成 v2 Rg ≈CRe =C(ρsvR/μ-ρfvR/μ) (44) 从而得到小球的速度v=CR췍e=C(ρs-ρf)gR2/μ, 与式(38)完全相同. 这里的关系也可以从物理上进一步理解,浮 力Fg 是正比于尺度R3,Fd 阻力是正比于尺度R, 所以小球运动速度正比于尺度R2. 7 结语 本文系统介绍了量纲分析方法的基本概念和 理论,通过实例展示了量纲分析的强大功能和获 得结果的普适性.从以上的几个例子可以看到,不 用公式就可以得到有关的结果,这往往也会给人 产生一个错误的感觉,就是量纲分析和应用好像 非常容易,但实际应用的时候又觉得无从下手,好 像是一门“艺术”. 为了可以更好地使用量纲分析方法,特别提 醒读者注意以下几点: (1)不用公式但需要对问题有深刻的理解: 使用量纲分析方法的核心是取决于你对于所研究 问题的物理过程的理解深度,理解越深参量选择 越准确,越能得到有价值的结果; (2)需要与其他方法结合:量纲分析只能给 出问题的普适结果,不能完全确定其中的全部关 系,需要结合其他方法(实验、理论分析或数值计 算)进一步确定其中的系数; (3)对结果要进行物理分析:对于量纲分析 得出的结果,一定要从物理上进行分析,以期可以 进一步简化. 应当指出,量纲分析方法可以应用到各种各 样的科学问题,有关在其他方面的应用,请参考文 献[20-23]. 致谢:感谢清华大学教授陈难先院士把我推 荐给《物理与工程》,感谢王青主编的约稿邀请,以 及编辑部主任钱飒飒对我准备论文时的协助. 11
12 物理与工程Vol.26No.62016 Yale University Press,1922. 参考文献 [12]Riabouchinsky P.On principle of similitude-letter to the [1]Fourier J B J.Analytical theory of heat[M].New York editor[J].Nature,1915,95:591. Dover Publications.1955. [13]Cengel Y A.Cimbala J M.Fluid mechanics fundamentals [2]Maxwell J C.A treatise on electricity and magnetismI M]. and applications[M].New York:The McGraw-Hill Edu- cation,2010. Cambridge:Clarendon Press,1891:New York:Dover Pub- [14]钱伟长.应用数学[M门.合肥：安徽科学技术出版社，1993. lications,1954. [3]Taylor G I.The formation of a blast wave by a very intense [15] Huntley H E.Dimensional analysis [M].New York: explosion[R].Civil Defense Research Committee.Report Dover,1967. RC-210,27June1941. [16]Siano D.Orientational analysis-A supplement to dimensional [4]Taylor G I.The formation of a blast wave by a very intense analysis-Part 1[J].J.Franklin Institute.1985.320(320): 267. explosion-Part 1 [C]//Theoretical discussion.Proceedings of the Royal Society of London.Series A.1950.201(1065): [17]Siano D.Orientational analysis-Tensor analysis and the 159-174. group properties of the SI supplementary units-Part 2[J]. [5]Taylor G I.The formation of a blast wave by a very intense ex- J.Franklin Institute.1985,320(320):285. plosion-Part 2[C]//The atomic explosion of 1945.Proceedings [18]Barenblatt.G I.Similarity,self-similarity and intermedi- of the Royal Society.Series A 1950.201(1065):493-509. ate asymptotics[M].New York:Consultants Bureau.Ple- [6]von Neumann J.The point source solution[R].NDRC. num Press,1979. Div.B.Rept.AM-9.June 30.1941. [19]Dusenbery D.B.Living at micro scale[M].Cambridge: Harvard University Press.2009:49. [7]von Neumann J.Blast wave[R].Los Alamos Sci.Lab. [20]Sedov L I.Similarity and dimensional analysis in mechanics Tech.Series.Vol.7,Part 2.H.Bethe,ed..August 13. [M].New York:Academic Press.1959. 1947,LA-2000. [8]Sedov L I.Propagation of strong blast waves.Prikladnaya [21]谈庆明.量纲分析[M幻.合肥：中国科技大学出版社，2007. Matematika i Mekhanika[J].Appl.Math.Mech..Lenin- [22]Sun B.The temporal scaling laws of compressible turbulence grad).1946,10:241-250. [U].Mod.Phys.Lett.B,30,1650297(2016)[14 pages] [9]Buckingham E.On physically similar systems:Illustration D0I:http://dx.doi.org/10.1142/S0217984916502973. of the use of dimensional equations[J].Phys.Rev.1914. [23)孙博华.量纲分析与Lie群[M们.北京：高等教育出版社， 4:345-376. 2016. [10]Buckingham E.The principle of similitude[J].Nature. [24]中华人民共和国国家标准.有关量、单位和符号的一般原则 1915,96:396-397. [M门.北京：中国标准出版社，1993. [11]Bridgman P W.Dimensional analysis[M].New Haven ■
物理与工程 Vol.26 No.6 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 2016 参 考 文 献 [1] FourierJBJ.Analyticaltheoryofheat[M].New York: DoverPublications,1955. [2] MaxwellJC.Atreatiseonelectricityandmagnetism[M]. Cambridge:ClarendonPress,1891;NewYork:DoverPublications,1954. [3] TaylorGI.Theformationofablastwavebyaveryintense explosion[R].CivilDefenseResearchCommittee,Report RC-210,27June1941. [4] TaylorGI.Theformationofablastwavebyaveryintense explosion-Part1[C]//Theoreticaldiscussion,Proceedings oftheRoyalSocietyofLondon.SeriesA,1950,201(1065): 159-174. [5] TaylorGI.Theformationofablastwavebyaveryintenseexplosion-Part2[C]//Theatomicexplosionof1945.Proceedings oftheRoyalSociety.SeriesA1950,201(1065):493-509. [6] von NeumannJ.Thepointsourcesolution[R].NDRC. Div.B.Rept.AM-9,June30,1941. [7] vonNeumannJ.Blastwave[R].Los AlamosSci.Lab. Tech.Series,Vol.7,Part2,H.Bethe,ed.,August13, 1947,LA-2000. [8] SedovLI.Propagationofstrongblastwaves.Prikladnaya MatematikaiMekhanika[J].Appl.Math.Mech.,Leningrad).1946,10:241-250. [9] BuckinghamE.Onphysicallysimilarsystems:Illustration oftheuseofdimensionalequations[J].Phys.Rev.1914, 4:345-376. [10] Buckingham E.Theprincipleofsimilitude[J].Nature. 1915,96:396-397. [11] BridgmanP W.Dimensionalanalysis[M].New Haven: YaleUniversityPress,1922. [12] RiabouchinskyP.Onprincipleofsimilitude-lettertothe editor[J].Nature,1915,95:591. [13] ÇengelY A,CimbalaJM.Fluidmechanicsfundamentals andapplications[M].New York:TheMcGraw-HillEducation,2010. [14] 钱伟长.应用数学[M].合肥:安徽科学技术出版社,1993. [15] Huntley H E.Dimensionalanalysis[M].New York: Dover,1967. [16] SianoD.Orientationalanalysis—Asupplementtodimensional analysis-Part1[J].J.FranklinInstitute.1985,320(320): 267. [17] SianoD.Orientationalanalysis—Tensoranalysisandthe grouppropertiesoftheSIsupplementaryunits—Part2[J]. J.FranklinInstitute.1985,320(320):285. [18] Barenblatt,GI.Similarity,self-similarityandintermediateasymptotics[M].NewYork:ConsultantsBureau,PlenumPress,1979. [19] DusenberyD.B.Livingatmicroscale[M].Cambridge: HarvardUniversityPress.2009:49. [20] SedovLI.Similarityanddimensionalanalysisinmechanics [M].NewYork:AcademicPress,1959. [21] 谈庆明.量纲分析[M].合肥:中国科技大学出版社,2007. [22] SunB,Thetemporalscalinglawsofcompressibleturbulence [J].Mod.Phys.Lett.B,30,1650297(2016)[14pages] DOI:http://dx.doi.org/10.1142/S0217984916502973. [23] 孙博华.量纲 分 析 与 Lie群[M].北 京:高 等 教 育 出 版 社, 2016. [24] 中华人民共和国国家标准.有关量、单位和符号的一般原则 [M].北京:中国标准出版社,1993. ■ 12