第36卷第5期 电子科技大学学报 Vol.36 No.5 2007年10月 Joumal of University of Electronic Science and Technology of China 0ct.2007 ·自动化技术· 测量数据的信息熵与测量误差熵研究 童玲，陈光禹，吕文 (电子科技大学自动化工程学院成都610054) 【摘要】以Shannon信惠论为基础，洋细分析了测重过程的物理机制和被测量与测量结果的映射关系，建立被测量、测 量误差和测量站果的信息论数学模型。研究了用信息果合和体息熵模型表征测量数据不确定度、被测量值和测量结果的方法， 以及被测量信惠捕、测量误差嫡和测量结果住息埔的内涵、相互关系和来解方法。并推导了典型分布下传统的不确定度理论 中的不确定度、置信系数与测量住息论中信息浦的数学关系，为从传统不确定度理论到测量信忠论的数据处理方法过滩做了 一些前期预研。 关健词测量误差满：测量信惠痛；测量不确定度；Shannon信息满 中图分类号01-647；N32 文献标识码A Information Entropy and Error Entropy of Measurement Data TONG Ling,CHEN Guang-ju,LO Wen Abstract The paper introduces the model of the measured quantity,error and measuring data on the base of Shannon information theory after analysing the physical mean of the measurement and the relationship between the measured quantity and the measuring results.The measuring uncertainty,the measured quantity and the measuring results are presented by the model of the information entropy.The measuring information entropy and the error entropy are defined and their relationship is gived.And the mathematic relation of the information entropy and uncertainty of same special distributions is deduced. Key words measuring error entropy;measuring information entropy;measurement uncertainty; Shannon entropy “测量”的经典解释为用实验的方法获取被测 一单位的精度、对被测量的分辨率以及量程等， 量值的过程。其过程的物理含义为以基准、标准或 在任何时候都体现了当时科学技术的最高水平冈。 工作用测量器具给出的量值为基本单位，去比对被 因此从本质上看“测量”实际上是信息论中对被观 测量值，所获得的单位的倍数为测量结果。它是 测信息（被测量值）的编码和处理过程，与其他信息编 用实验的方法对被测量进行量化的过程，其中的关 码不同的是它的编码结果是数量，多数为十进制。 键为“实验”和“量化”。“实验”是一个物理过程， 不同单位的编码结果不同，但它并不影响被观测信 它保证测量不是通过计算、仿真或其他手段进行， 息（被测量值）的客观性（量值大小），这是单位换算的 强调其客观性，从而使得“测量”成为一切科学研 基础。因此可以认为信息论是处理测量及其结果的 究和工程技术的基础。而“量化”则是通过人类发 一套重要理论，测量信息论是信息论总体的一个研 明和创造的一些方法和规则对被测量值进行离散和 究分支，是信息论的一个重要应用研究领域。 编码，以便于进行识别、存储、显示等处理。大多 1被测量信息熵 数“量化”采用十进制技术，形成了一整套自然界 量值数字化方法。“量化”过程既体现了人类的主观 在传统的测量理论中，被测量被视为“一个” 思想一用人类规定的一系列基本单位（如$制中的 客观存在的、不变（测量过程中）的量值，此量值具有 基本单位系列)以及导出单位和单位进制去对被测 数字上的连续性，不能为基本单位的整数分割。 量进行编码：同时也客观体现了科学技术发展水平 而实际被测量不是一个不变的、单一量值。在 收稿日期：2007-03-9 作者筒介：童1963一，女，在取博士生，教授。主要从事测试建论与技术方面的研究 万方数据
第36卷第5期 2007年IO月 电子科技大学学报 ． J咖al ofunive忭ny ofEIec虹蚰ic sci∞∞锄d 1bdmolo科0fch．ma voI．36 No．5 oct．2007 ·自动化技术· 测量数据的信息熵与测量误差熵研究 童玲，陈光祸，吕文 (电子科技丈学自动化工程学院成都6lO吲1 【摘要】以sha哪信息论为基础，详细分析了测量过程的物理机制和被测量与测量结果的映射关系．建立被测量．测 量误差和测量结果的信息论数学模型．研究了用信怠秉夸和信息熵模型袁枉测量数据不确定度，被测量值和测量结果的方法， 班夏被测量信息熵、测量误差熵和洲量结果信息熵的内涵、相互关乐和求解方法．井推导了典型分布下传统的不确定度理论 中的不确定度．王信系敷与洲量信息论中信息熵的数学关系，为从传统不确定虚理论到测量信息论的数据处理方法过渡做了 一些前期预研． 关键词洲量谖差嫡：洲量信息熵；洲量不确定度：Sh锄on信息熵 中图分类号01—“7：N32 文献标识码A Inf．ormation EntrOpy and ErrOr EntrOpy Of Measurement Data 砌呵GL吨，c砸NG啪gju，L0w锄 ‘schooId AlItom毗i∞EnghI绷岖u击v啦灯到由础sd∞∞md Tech∞lo甜ofchin a哪曲I 61∞“) Abstr扯t The pap口in咄鼯the model ofthc m髑su托d qu锄ti吼e盯or趾d me船uring dala阻the b嬲c 0f Sh锄on mformaⅡon也eory aftcr蚴a】ys．mg the physical r眦柚oflhe me钺m佗malt and ttIe rela士ionsllip betwe廿I tlle measurcd qu粕廿ty孔d t11e me酆uring∞锄l乜．The m％州ring u眦erIain饥恤e m∞su咒d q啪廿Iy and t11e me硒11r证g rcsuJ拓arc prcs∞ted by也c model Of也c iIlfbnnatiOn a埔『Opy．Thc measuring iIlf0叮nati∞朗位opy蛆d血e ermr en们py are def．med and出ejr rclationship is窑ived．And thc mathallatic rclation of也e i11f咖ati∞en们py锄d uncatain婶ofs锄c special diStributions is dedu∞d l(ey words me捆l血g em"∞们py； me勰l血g血fo皿觚∞∞咖py； me捆删m岫ccrtajnty； ShⅢon en协)py “测量”的经典解释为用实验的方法获取被测 量值的过程。其过程的物理含义为以基准、标准或 工作用测量器具给出的量值为基本单位．去比对被 测量值，所获得的单位的倍数为测量结果【IJ．它是 用实验的方法对被测量进行量化的过程，其中的关 键为“实验”和“量化”．“实验”是一个物理过程， 它保证测量不是通过计算、仿真或其他手段进行。 强调其客观性，从而使得“测量”成为一切科学研 究和工程技术的基础．而“量化”则是通过人类发 明和创造的一些方法和规则对被测量值进行离散和 编码，以便于进行识别、存储、显示等处理。大多 数“量化”采用十进制技术，形成了一整套自然界 量值数字化方法．“量化”过程既体现了人类的主观 思想一用人类规定的一系列基本单位(如sI制中的 基本单位系列)以及导出单位和单位进制去对被测 量进行编码；同时也客观体现了科学技术发展水平 ——单位的精度、对被测量的分辨率以及量程等， 在任何时候都体现了当时科学技术的最高水平闭． 因此从本质上看“测量”实际上是信息论中对被观 测信息(被测量值)的编码和处理过程，与其他信息编 码不同的是它的编码结果是数量，多数为十进制。 不同单位的编码结果不同，但它并不影响被观测信 息(被测量值)的客观性(量值大小)。这是单位换算的 基础。因此可以认为信息论是处理测量及其结果的 一套重要理论，测量信息论是信息论总体的一个研 究分支。是信息论的一个重要应用研究领域”．，J． 1被测量信息熵 在传统的测量理论中。被测量被视为。一个” 客观存在的、不变(测量过程中)的量值，此量值具有 数字上的连续性．不能为基本单位的整数分割。 ．而实际被测量不是一个不变的、单一量值。在 收稿日期t 2007一∞一19 作者简介t童墩19酣一)-女，在职博士生t教授·主要从事舅试理论与技术方面的研丸 万方数据
936 电子科技大学学报 第36卷 各种因素影响下（如环境、人为、设备等），除掉单向 者之间的关系充分反应了测量过程的质量，因此在 漂移变化，任何一个被测量都是一个随时间变化的 测量信息论中用表示二者之间关系的信息量参数来 随机参量，即被测量本质上为一个随机过程。被测 表示测量的质量。 量的实际数学模型可以表示为一个可能性分布函 设测量结果集合由数据(h,a}构成，其 数·pf随被测量量值和时间变化的连续信源集 概率空间为： 合。测量过程是追求在x,)分布下的集合的数学期 望值x)及不确定性向—信息摘H)的操作。 Y: (3) 根据概率论和Shannon的信息论理论，被测量的 则测量结果信息熵为： 数学期望和信息熵分别为7： H0m=-∑p0,)iog:p0y） (4) 0=广x地 () X,0=-Px0log,x地 (2) 3 被测量集合与测量结果集合的关系 被测量数学期望反映了被测量的随机平均特性：而 及其测量误差熵 被测量信息熵则是被测量信源集合不确定性或离散 如图1所示，信源集合为连续桌合，其元素的概 性的体现。 率分布为()，信源集合中的任何一个值都会对结果 自然界存在的所有客观量值的pdf都随时间变 巢合中的所有元素产生影响，是结果集合的条件。 化，其数学期望和信息熵也随时间变化。相对于测 针对信源集合中的某个值x,结果集合的条件痛为： 量操作而言，有的量变化慢，有的量变化快，严格 按照此模型进行测量是不可行的。经简化后的、可 H/田=-2p0,1mb:P心，1国 (5) 操作的物理模型是：被测量是一个客观存在、单一 以整个信源集合为条件的结果集合的条件熵为： 的、固定不变的量值：被测量是一个拥有一定概率 分布不随时间变化的连续集合；被测量概率分布满 H1为=-P(HW1x地= 足时间逍历条件的连续集合。 -Ir2心1s,因t 2测量结果信息熵 代表测量结果的数据构成测量的另一个信息集 -I2ploe:心y1网u (⑤ 合：测量结果信息集合。它与被测量信源集合不同 式中 的是：()它不是一个独立存在的信息集合，所含的 p灿为信源集合取x的概率：p(名y)= 信息内容（测量结果数据）和信息量（与不确定性相关 xpy/x)。 的测量结果信息熵)由被测量信源和测量过程（测量 严0hhh 原理、技术、设备以及人员等)决定。（②）它是一个 离散集合，离散的最小间距与测量分辨率有关，同 时也正是由于其离散特性，使得被测量信源的部分 信息丢失（作为连续集合的信源的处于阶梯之间的 信息丢失)，表现在信息量减少，信息熵变化，由于 图1连续分布信源集合与结果集合的关系 测量结果信息集合由双重不确定因素决定，其各种 特性远比被测量信源复杂，用信息论的方法能准确 若测量结果信息集合的信息熵为)，则被测 地获得测量结果信息集合的各种特性参数，并从中 量集合和测量结果集合交互熵为： 分析出有关被测量信源的相关特性。合理地评价测 H(X-Y)(Y-H(YX) (⑦ 量质量和测量系统是测量信息论的主要内容之一， 式中HK代表通过测量从被测量信源集合传递 测量结果信息集合是离散的具有一定概率分布 到测量结果信息集合的“真信息”的信息熵：HY) 的集合。此集合的不确定性可用信息熵来表示。测 则代表由于测量引入的误差和干扰信息的信息熵， 量结果信息集合不是一个独立存在的信息集合，它 称为误差熵。如果整个测量没有任何误差和干扰， 是以信源集合的内容及其分布为条件而存在的。二 则测量结果信息集合中的所有信息都来自于信源集 万方数据
电子科技大学学报 第36卷 各种因素影响下(如环境、人为、设备等)，除掉单向 漂移变化，任何一个被测量都是一个随时间变化的 随机参量。即被测量本质上为一个随机过程．被测 量珊q实际数学模型可以表示为一个可能性分布函 数-二—硼f随被测量量值和时间变化的连续信源集 合。测量过程是追求在如f)分布下的集合的数学期 望值z(r)及不确定性。叱——信息熵飓∞的操作． 根据概率论和Shm∞的信息论理论，被测量的 数学期望和信息熵分别为p棚t — p 工(r)=I硝茸，1血 (1) M 日(z，，)=一l烈五f)Io喀2烈毛f)出 (2) 被测量数学期望反映了被测量的随机平均特性；而 被测量信息熵则是被测量信源集合不确定性或离散 性的体现． 自然界存在的所有客观量值的pdf都随时间变 化，其数学期望和信息熵也随时间变化。相对于测 量操作而言，有的量变化慢。有的量变化快．严格 按照此模型进行测量是不可行的。经简化后的、可 操作的物理模型是：被测量是一个客观存在、单一 的、固定不变的量值；被测量是一个拥有一定概率 分布不随时间变化的连续集合；被测量概率分布满 足时间遍历条件的连续集合． 2测量结果信息熵 代表测量结果的数据构成测量的另一个信息集 合：测量结果信息集合．它与被测量信源集合不同 的是：(1)它不是一个独立存在的信息集合，所含的 信息内容(测量结果数据)和信息量(与不确定性相关 的测量结果信息熵)由被测量信源和测量过程(测量 原理、技术、设备以及人员等)决定．(2)它是一个 离散集合，离散的最小间距与测量分辨率有关，同 时也正是由于其离散特性，使得被测量信源的部分 信息丢失(作为连续集合的信源的处于阶梯之间的 信息丢失)，表现在信息量减少，信息熵变化．由于 测量结果信息集合由双重不确定因素决定，其各种 特性远比被测量信源复杂．用信息论的方法能准确 地获得测量结果信息集合的各种特性参数，并从中 分析出有关被测量信源的相关特性．合理地评价测 量质量和测量系统是测量信息论的主要内容之一． 测量结果信息集合是离散的具有一定概率分布 的集合．此集合的不确定性可用信息熵来表示。测 量结果信息集合不是一个独立存在的信息集合，它 是以信源集合的内容及其分布为条件而存在的．二 者之间的关系充分反应了测量过程的质量．因此在 测量信息论中用表示二者之间关系的信息量参数来 表示测量的质量． 设测量结果集合由数据bb以，一曲)构成，其 概率空间为： r：瞄：．．．．叠-苌I]薯纠 ∞ L风pl…且…以一IJ面 则测量结果信息熵为： ■一1 日(】，)=一∑p饥)log：p嘶) (4) J卸 3被测量集合与测量结果集合的关系 及其测量误差熵 如图1所示，信源集合为连续集合，其元素的概 率分布为p∞。信源集合中的任何一个值都会对结果 集台中的所有元素产生影响，是结果集合的条件。 针对信源集合中的某个值h结果集合的条件熵为： 日(r，∞=一∑p∞，砷1092p嘶／砷 (5) 』=O 以整个信源集合为条件的结果集合的条件熵为： 日(r，．幻=一l p(功日(y，牡= 一I删善咖例09：如，曲出= 一I善如乃)l092咖，砷血 (6) 式中．P∞出为信源集合取z的概率l p(葛y，)= p∞pbt|蚺· 卜‘mn．h…“I' 图l连续分布信源集合与结果集合的关系 若测量结果信息集合的信息熵为斌”，则被测 量集合和测量结果集合交互熵为： 职】，)嗍D坝脚 (7) 式中月∞】|)代表通过测量从被测量信源集合传递 到测量结果信息集合的“真信息”的信息熵；顾砚的 则代表由于测量引入的误差和干扰信息的信息熵， 称为误差熵。如果整个测量没有任何误差和干扰， 则测量结果信息集合中的所有信息都来自于信源集 万方数据
第5期 童玲等：测量数据的信息擠与测量误差旖研究 937 合，全部为“真实”信息，则有： 以信息痛为研究核心的一套现代测量数据和测量系 H(YIX)-0,H(X-Y=(Y) (8) 统评价理论。它摒弃了传统的测量数学模型（如真 但必须指出的是，由于测量过程中的各种因素 值、误差等，代之以集合、分布、信息熵、信息传 (如量值离散化)，并不是所有被测量信源集合的信 递等现代信息论模型。在以模块化测量为发展趋势 息全部到达测量结果集合中，有一部分信息被“丢 的测量仪器和系统的研究中，测量技术与信息技术 失”，此时测量结果信息集合的信息嫡等于交互熵， 和计算机技术的融合是现代测量技术研究的核心， 但并不等于被测量信源集合的信息熵。因此当被测 而测量信息伦将为其提供强有力的理论支撑。尽管 量信源的信息熵已知时，测量结果的信息熵与标准 测量信息论的研究还处于起步阶段，但不可否认的 源的信息熵之差即为被测系统误差熵，其中并不包 是它必将成为信息论的一个重要研究分支， 含由于测量导致的信息损失所引起的信息熵变化。 这部分信息熵为： 参考文献 H(XYH(XH(X-Y (9) [)林洪枰.现代测量误是分析及数据处理[仞.第6版.计量 技术，1997，(6：4145. 在没有信息“丢失”时（测量系统分辨率很高时， [2]RICHTER D.Advanced mathematical tools in 可作此近似)，有HXO,此时H)=HK门，则 metrology[Cl/V.Series on Advances in Mathematics for 误差熵为： Applied Sciences.Singapore:World Scientific Publishing Company,2001,57:93-104. HY为=H(H) (10) [3]LO Wen,TONG Ling CHEN Guang-ju.The Maximum 即若已知被测量信源集合的信息嫡)，通过测量 entropy method (MEM)in the measuring data processing(J. 获得的结果信息集合的信息箱为H(),二者之差即 Journal of Electronic Science and Technology of China, 2004,2:22-24. 为测量导致的误差熵，即测量的不确定性。通常在 [)童玲，陈光橘。被测重信惠捕、洲量误益熵及其关系 检定测量仪器或系统时，用已知标准源测量被检定 门.仪要仅表学报，2004,25（增刊）：821-824. 仪器或系统的误差熵，这其中包含人为和环境因素， [5]SRIVASTAVA Y N,VITIELLO G WIDOM A.Quantim 但一般误差熵是在标准人员（检定员）和标准环境（计 measurements,information and entropy production[J].Int.J. Mod.Phys.,1999,B12:3369-3382. 量室)前提下给出。在用标准测量仪器或系统测量被 [6]WEST B J.Measurement[J).Information and Uncertainty. 测量值时，由于测量系统的误差熵已知，测量结果 Mathematics Computers in Simulation,1987,29(3-4): 信息集合的信息熵减去误差熵即可得到被测源的信 169-189. [门金振玉，信息论DM北京：北京理工大学出版社，191. 息熵（前提是“丢失”的信息熵可忽略）。 [)捷其尼科夫信息工程基幽.北京：机械工业出版社， 如在经典测量模型中，被测量被视为单一、不 1985. 变量值，被测量信息熵为0，则测量误差熵即为测量 [9]MASRY E.Probability density estimation from sampled 结果信息熵。它代表了测量结果的分布状况，表现 data[J].IEEE Trans.Inform.Theory,1983,IT-29:697-709. [10]QING Ping.WANG Zhong-yu.On non-statistic uncertainty 为测量结果的不确定性母10。在几种典型分布中，误 in dynamic measurement[C]//Proc.Ist International 差熵与标准不确定度有如下关系叫： Symposium on Instrumentation Science and Technology. H(Y/X)=H(Y)=log,(Ao) (11) Luoyan,China:[s.n],1999:228-232. [11]PRONZATO L THIERRY E.A minimum-entropy 式中为标准不确定度；A为与分布函数有关的因 estimator for regression problems with unknown 子（正态分布为√2；均匀分布为2：指数分布 distribution of observation erors[C/in Bayesian Inference 为√2e)。若将A视为扩展因子，则以bit为单位的扩 and Maximum Entropy Methods in Science and Engineering MaxEnt 2000,A.Mobammad-Djafari,Ed.: 展不确定度即为误差嫡。 [s.n12001:169-180. 5结束语 编辑漆蓉 以Shannon信息论为理论基础的测量信息论是 万方数据
第5期 童玲等：测量数据的信息熵与测量误差熵研究 合。全部为。真实”信息．则有： ^f(玎玲=o，脚xn-J聊玎 (8) 但必须指出的是，由于测量过程中的各种因素 (如量值离散化)。并不是所有被测量信源集合的信 息全部到达测量结果集合中。有一部分信息被。丢 失”，此时测量结果信息集合的信息熵等于交互熵。 但并不等于被测量信源集合的信息熵．因此当被测 量信源的信息熵已知时，测量结果的信息熵与标准 源的信息熵之差即为被测系统误差熵，其中并不包 含由于测量导致的信息损失所引起的信息熵变化。 这部分信息熵为： 月∞I户域母一砸静”C9) 在没有信息“丢失”时(测量系统分辨率很高时， 可作此近似)，有固田l’=0，此时圊∞=丑(*】，)，则 误差熵为： 域嘲=域耻峨的 (10) 即若已知被测量信源集合的信息熵月∞，通过测量 获得的结果信息集合的信息熵为脚∞，二者之差即 为测量导致的误差熵，即测量的不确定性．通常在 检定测量仪器或系统时，用已知标准源测量被检定 仪器或系统的误差熵。这其中包含人为和环境因素， 但一般误差熵是在标准人员(检定员)和标准环境(计 量室)前提下给出．在用标准测量仪器或系统测量被 测量值时．由于测量系统的误差熵已知，测量结果 信息集合的信息熵减去误差熵即可得到被测源的信 息熵(前提是。丢失”的信息熵可忽略)。 如在经典测量模型中，被测量被视为单一、不 变量值，被测量信息熵为0，则测量误差熵即为测量 结果信息熵．它代表了测量结果的分布状况，表现 为测量结果的不确定性p…．在几种典型分布中，误 差熵与标准不确定度有如下关系【ll】t 日(1，，司=日∽=l092(删 (11) 式中 硝标准不确定度；彳为与分布函数有关的因 子(正态分布为√2"；均匀分布为√12；指数分布 为√知)。若犒。视为扩展因子，则以bn为单位的扩 展不确定度即为误差熵。 5结束语 以sh锄on信息论为理论基础的测量信息论是 以信息熵为研究核心的一套现代测量数据和测量系 统评价理论．它摒弃了传统的测量数学模型(如真 值、误差等)，代之以集合、分布、信息熵、信息传 递等现代信息论模型．在以模块化测量为发展趋势 的测量仪器和系统的研究中。测量技术与信息技术 和计算机技术的融合是现代测量技术研究的核心， 而测量信息伦将为其提供强有力的理论支撑．尽管 测量信息论的研究还处于起步阶段，但不可否认的 是它必将成为信息论的一个重要研究分支． 参考文献 【l】棒洪枰．现代测量误差分析夏数据处理【J】．第6版．计量 技术。l盼7．‘6)：41_45． 【2】IucIⅡⅢt D．Adv蚰ccd m删崩natical t。日ls jIl m咖l皑“q，^【S耐幅∞Adv锄船jn M劬cIIl砒i嚣for A即I埘Sci∞o鼠s．m窖芦po砧：w州d sci∞廿矗c PIIbli时liIlg c‘Ⅷpa嘞2∞l，57：93·104． 【31Lo w砜TONG L．m舀cHEN 0IIan咖11lc M疵咖 q1乜Dpy mclhod O田ih0．mⅡ坼珂瑚sIIr吨da协proce豁iIlg【J1． JoIImm 0f El∞响nic Sd∞∞姐d Tc洲0留of Chin8． 2004。2：22．24． 【4】童玲，殊光楠．被测量信息熵，潮量误盖熵夏其关系 啊．仪嚣仪表学报-2004'25(增刊)：82l-824． 【s】sRIvAsl黼Y N’V皿LLO q wDOM A Q啪ll珊 m髑嘲m舶呲In南删i∞柚d∞廿opy弘。曲ct蛔【J】．Il止王 MocL Phyk 19魄B12：3369-3382． 【6】wEsT B J．hIc越吐嘴m蚰t【J1．bfonn址i∞and un氍岫啦 Ma缸瑚lati∞＆C伽pu岫缸simulali鸭1987。2邮川： 169-18 9． 【7】叠振玉．信皂论【h日．北京：北京理工大学出版社，1991_ 【8l捷莫尼科夫．信怠工程基础口哪．北京：机械工业出蚺 1985． 【9】MAsRY E．nob曲iuly d∞s姆e砒hati∞丘伽ⅡsaⅢplcd dat丑【J】．啦!h瞻I血m nI∞珥1983，Ⅱ也9：697删． Ilo】QⅡ帕Pi唔、】lⅫG动∞g哪L 0n呻删随Ic硼册乜iⅡIy 缸d．mamIc m簏困Ⅱ豇ncnt【q朋PIDc． 1n Intcm砒ional Symposj岫∞ks咖cnt砒．吼Scien∞add Tecbnolo舒‘ L1I眦aIhE【sn】．1999：228-232． 【111 H∞Nz^ID I’傩RRY E A minj珊瑚-曲廿opy 髓dm栅lbf地掣螂i∞ 脚1cl哪wi血uDl∞唧 dist—hnion ofobsav皿i嘲㈣略【c蛐Bay船i址mf‰∞ 柚d M“jn岫B啦npy M劬0ds细s‘抽D膳衄d EDgillo耐ng M缸Em 2∞0'^-Moh锄m蚰_Djaf吼E正： 【&m】，2∞l：169-180． 编辑漆蓉 万方数据