第一章 线性系统的数学描述
第一章 线性系统的数学描述
1.1引言 1、建立系统的数学模型是控制系统进行分析和设 计的基础 系统的数学模型— 描述系统行为特性的数学 表达式（如传递函数）或数学方程（如微分方程、代 数方程) 2、同一个系统可以有不同的数学模型 ·系统研究的对象（输入、输出和状态变量）不同 。建立数学模型所用的数学方法不同 3、举例：直流电动机控制电路的数学模型
1.1 引 言 1、建立系统的数学模型是控制系统进行分析和设 计的基础 系统的数学模型——描述系统行为特性的数学 表达式(如传递函数)或数学方程(如微分方程、代 数方程) 2、同一个系统可以有不同的数学模型 系统研究的对象(输入、输出和状态变量）不同 建立数学模型所用的数学方法不同 3、举例：直流电动机控制电路的数学模型
直流电动机原理线路图 粘性摩擦b + R 电枢 转动惯量J 负载 T uf 图1一1直流电动机控制电路
u f ua f i a i Ra Rf Lf La , 转动惯量 J 粘性摩擦 b 负载 TL 电枢 a e 直流电动机原理线路图 图1－1 直流电动机控制电路
(1)电枢控制方式：设激磁电压、气隙磁通恒定 ·电枢电路电压平衡方程 u。=Rin+L di。+e。 dt (1-3) 式中，R。La分别是电枢电路的电阻和电感 电机的反电势与电机的角速度成正比： e。=K.o (1-2) 式中，K。为电机的反电势常数 ·电机转子轴上转矩平衡方程 T=J do+b+T (1-4) d
⑴电枢控制方式：设激磁电压、气隙磁通恒定 电枢电路电压平衡方程 式中， 分别是电枢电路的电阻和电感 电机的反电势与电机的角速度成正比： 式中， 为电机的反电势常数 电机转子轴上转矩平衡方程 （1－3） （1－4） （1－2） a a a a a a e dt di u R i L e a K e Ra、La i T L b dt d T J K e
式中 J为电机轴上总的等效转动惯量， b 为电机转轴上的等效粘性摩擦系数， T是负载转矩 T,是电动机电磁转矩 T:=Kiia (1-1) ●以电压u。为输入，角速度⊙为输出的运动方程 在以上各式中，消去中间变量。，并假定T,=0 得如下二阶微分方程 +(R.al*b)+(k.ki+Rbo-k
式中 为电机轴上总的等效转动惯量， 为电机转轴上的等效粘性摩擦系数， 是负载转矩 以电压 为输入，角速度 为输出的运动方程 在以上各式中，消去中间变量 ，并假定 得如下二阶微分方程 是电动机电磁转矩 （1－1） （1－5） J b TL Ti a u a TL 0 i a a a KeKt Rab Ktua dt d R J bL dt d L J ( ) ( ) 2 2 Ti Ki a i
如以转角为输出，系统的运动方程为 (2)激磁电流控制方式 (1-6) 假设电枢电流i。=Ct(常数)，再设气隙磁通与 激磁电流成正比 电压平衡方程和转矩平衡方程为 u;=RLe (1-8) )-阳oT (1-9) 式中T,是负载转矩 电机的电磁转矩 Ti=Kin (1-7)
如以转角为输出，系统的运动方程为 ⑵ 激磁电流控制方式 假设电枢电流 （常数），再设气隙磁通与 激磁电流 成正比 电压平衡方程和转矩平衡方程为 电机的电磁转矩 （1－6） （1－8） （1－9） （1－7） 式中 是负载转矩 a a a e t a Ktua dt d K K R b dt d R J bL dt d L J ( ) ( ) 2 2 3 3 i Ct a f i dt di u R i L f f f f f f b TL dt d T J f f f T K i TL
·电机的微分方程为 ,+(1-,安R0=K, (1-10) +J-,+R=K, (1-11) 研究参量不同，它们的数学描述也不同 以上几个方程有一个共同点： 它们都是只描述了输入(4aur)与输出(0、0) 之间的关系一系统的输入输出描述 (3)如果不消去变量i。,可以得到系统的另一种数学 描述
电机的微分方程为 研究参量不同，它们的数学描述也不同 以上几个方程有一个共同点： 它们都是只描述了输入( )与输出( ) 之间的关系——系统的输入输出描述 ⑶ 如果不消去变量 ，可以得到系统的另一种数学 描述 （1－10） （1－11） f f f f f f R b K u dt d R J bL dt d L J ( ) 2 2 f f f f K f u f dt d R b dt d R J bL dt d L J 2 2 3 3 ( ) a f u 、u 、 a i
将转矩公式（1一1)和反电势公式（1一2)分别代入 转矩平衡方程（1一4)和电压平衡方程（1一3)得 do K.:bT dt -ia- 0+ (1-12) J J di。 L L a (1-13) 设T=0, 令输入a=u,输出0=”y及ia=出 1 0=x2, 并将它们写成矩阵形式 Ra Ke La La 6- (1-14) y=[ 1] X2
将转矩公式（1－1）和反电势公式（1－2）分别代入 转矩平衡方程（1－4）和电压平衡方程（1－3）得 设 ，令输入 ，输出 及 ， ，并将它们写成矩阵形式 （1－12） （1－13） （1－14） 2 x J T J b i J K dt d L a t a a e a a a a a di R K u i dt L L L TL 0 ua u y 1 i x a 2 1 2 1 2 1 [ 0 1 ] 0 1 x x y L u x x J b J K L K L R x x a t a e a a
同样，将激磁控制的方程经过整理，设T,=0，并令 输入ur=u,输出0=y,及i,=x1,0=x2可得 + u b LX2 (1-15) 1 y=[ 0 1] X2 前面两组向量方程，不仅描述了系统外部变量（输入与 输出)，而且描述了系统内部变量(i。或if)的行为。这 就是系统的状态空间描述。 使用数学的方法不同，系统的数学模型也不同
同样，将激磁控制的方程经过整理，设 ，并令 输入 ，输出 ，及 可得 前面两组向量方程，不仅描述了系统外部变量(输入与 输出)，而且描述了系统内部变量( 或 )的行为。这 就是系统的状态空间描述。 使用数学的方法不同，系统的数学模型也不同 （1－15） TL 0 u u f y 1 2 i x , x f L u x x J b J K L R x x f f f f 0 0 1 2 1 2 1 2 1 [ 0 1 ] x x y a i f i
(4)系统方块图 y 2 X1,X2…,Xn 图1一2系统方块图 图中 u1,u2,…lp 系统的输入 y1,y2,…yg 系统的输出 }系统的外部变量 X1,X2,…Xn 系统的状态变量一 系统的内部变量 单变量系统和多变量系统 单变量系统：只有一个输入和一个输出的系统 多变量系统：有两个或两个以上输入或输出的系统
⑷ 系统方块图 图中 系统的输入 系统的输出 系统的状态变量——系统的内部变量 系统的外部变量 图1－2 系统方块图 单变量系统和多变量系统 单变量系统：只有一个输入和一个输出的系统 多变量系统：有两个或两个以上输入或输出的系统 u1 up 2 u 1 y 2 y q y n x , x , , x 1 2 p u ,u ,u 1 2 q y , y , y 1 2 n x , x ,x 1 2
