上游充通大粤 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 经典控制理论：数学模型 上海交通大学自动化系 Department of Automation Shanghai Jiao Tong University 1896
经典控制理论：数学模型
上游充通大警 内容 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY >控制系统的数学模型 •概述 ·传递函数 ·典型环节 •方块图 ·常用的传递函数 2
《控制导论——绪论》 上海交通大学自动化系 席裕庚 2 内容 ¾控制系统的数学模型 • 概述 • 传递函数 • 典型环节 • 方块图 • 常用的传递函数
上游充通大粤 概述：表示形式 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 定义：物理系统运动特性的数学抽象。 数学解析形式 ·微分方程描述：输入到输出的最直观的体现，但是高阶系统求解 困难 ·传递函数/频率特性：适用于单输入单输出系统 ·状态空间描述：用于多变量系统及最优控制问题 图形表示 。 分析研究系统的内部结构和动态特性 ·信号流图、方块图、根轨迹图、频率特性图等 3
《控制导论——绪论》 上海交通大学自动化系 席裕庚 3 概述：表示形式 定义：物理系统运动特性的数学抽象。 数学解析形式 • 微分方程描述：输入到输出的最直观的体现，但是高阶系统求解 困难 • 传递函数/频率特性：适用于单输入单输出系统 • 状态空间描述：用于多变量系统及最优控制问题 图形表示 • 分析研究系统的内部结构和动态特性 • 信号流图、方块图、根轨迹图、频率特性图等
上游充通大警 概述：建模原则 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 。分清主次，合理简化，建立适当的数学模型 ·例如，非线性→线性 ®根据选定的系统分析方法建立起相应的数学模型 ·时间域数学模型：微分方程 微分方程 。 复数域数学模型：传递函数 t (时域) ·频率域数学模型：频率特性 系统 传递函数 频率特性 S S=jo 0 (复域) J0=S (频域) 4
《控制导论——绪论》 上海交通大学自动化系 席裕庚 4 概述：建模原则 分清主次，合理简化，建立适当的数学模型 • 例如，非线性 →线性 根据选定的系统分析方法建立起相应的数学模型 • 时间域数学模型：微分方程 • 复数域数学模型：传递函数 • 频率域数学模型：频率特性 微分方程 （时域） 系统 传递函数 （复域） 频率特性 （频域） L F t s ω 1 F 1 − L − jω = s s = jω
上游充通大粤 概述：建模方法 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY ©数学分析法 ·元件或系统的物理或化学规律 ·用微分方程求解分析系统 ©工程分析法 ·对实际系统加一定形式的输入信号，求取输出响应 ·用传递函数、频率特性求解、分析系统 ·优点：比数学分析法直观、方便 5
《控制导论——绪论》 上海交通大学自动化系 席裕庚 5 概述：建模方法 数学分析法 • 元件或系统的物理或化学规律 • 用微分方程求解分析系统 工程分析法 • 对实际系统加一定形式的输入信号，求取输出响应 • 用传递函数、频率特性求解、分析系统 • 优点：比数学分析法直观、方便
上游充通大警 概述：微分方程表示形式 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY an dt" d"c(adt dc(ac(t) dr(br(t) r(t):系统输入量 a和b:均为实数 c(t):系统输出量 一 般n≥m:系统中含有储能元件 微分方程描述的是在特定输入作用下输出的动态变化 过程。 6
《控制导论——绪论》 上海交通大学自动化系 席裕庚 6 概述：微分方程表示形式 r(t)：系统输入量 c(t)：系统输出量 微分方程描述的是在特定输入作用下输出的动态变化 过程。 ai和bi均为实数 一般n ≥m：系统中含有储能元件 ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 b r t dt dr(t) b dt d r(t) b d t d r(t) b a c t dt dc(t) a dt d c(t) a dt d c(t) a m m m mm m n n n n n n = + + + + + + + + − − − − − Λ Λ
上游充通大警 内容 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY >控制系统的数学模型 •概述 ·传递函数 ·典型环节 •方块图 ·常用的传递函数
《控制导论——绪论》 上海交通大学自动化系 席裕庚 7 内容 ¾控制系统的数学模型 • 概述 • 传递函数 • 典型环节 • 方块图 • 常用的传递函数
上游充通大警 传递函数：定义 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 定义 ·线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变换 和输入量的拉氏变换之比 G(s)= [c()]_ C(s) L[r(t)] R(s) ·C(s)=L[c(t)]:输出量的拉氏变换式 ·R(s)=L[r(t)]:输入量的拉氏变换式。 ·C(s)=R(s)G(s) ®举例：RC电网络 4,(0G(S)= c(s u(t) R(s)RC3+1 8
《控制导论——绪论》 上海交通大学自动化系 席裕庚 8 传递函数：定义 定义 • 线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变换 和输入量的拉氏变换之比 • C(s)=L[c(t)]：输出量的拉氏变换式 • R(s)=L[r(t)]：输入量的拉氏变换式。 • C(s)=R(s)G(s) 举例：RC电网络 R(s) C ( s ) L[r(t)] L[c(t)] G(s) = = ( ) ( ) 1 1 ( ) + = = R s RCs C s G s ( ) r u t ( ) c u t i t( ) R C
上游充通大警 传递函数：表达形式 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY d"c(t) d"-c( 微分 n dt" +an-1 dtn-I dc(ac() 2+AN+a,dt 方程 二bm d"r(t) dtm +om-d dm-r(t) (t dtm-1 ++bi dt +bo⊙ 传递 C( )bmsm+bm-ism1+AA bis+bo 函数 G(s)= R(s) ans"+an-js-1+Λ个as+ao 时间 G(s)= C(s)-k (s+1)(s+1)A A (s+1) 常数 K:稳态增益 R(s) (Ts+1)Ts+1)AΛ(Ts+1) 零极 K:根轨迹增益 C()-K Z: 零点 点 G(s)= R(s) 6+P,S+p2ΛA(S+Pn) Pi: 极点 9
《控制导论——绪论》 上海交通大学自动化系 席裕庚 9 传递函数：表达形式 a c(t) dt dc(t) a dt d c(t) a dt d c(t) a n-1 1 0 n-1 n n-1 n n + Λ + Λ + + b r(t) dt dr(t) b dt d r(t) dt d r(t) b m-1 1 0 m-1 m m-1 m = Λ m + b + Λ + + 1 0 n 1 n 1 n n 1 0 m 1 m 1 m m a s a s a s a b s b s b s b R(s) C(s) G(s) + + + + + + = = − − − − Λ Λ Λ Λ (s p )(s p ) (s p ) (s z )(s z ) (s z ) K R(s) C(s) G(s) 1 2 n 1 2 m r + + + + + + = = Λ Λ Λ Λ 微分 方程 传递 函数 Kr：根轨迹增益 zi：零点 pj：极点 ( s 1)( s 1) ( s 1) ( s 1)( s 1) ( s 1) K R(s) C(s) G(s) 1 2 n 1 2 m + + + + + + = = T T Λ Λ T 时间 τ τ Λ Λ τ 常数 零极 点 K：稳态增益
上游充通大学 传递函数：求取方法 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY 一般的求取方法 ·列写元件或系统的微分方程 · 在零初始条件下对方程进行拉氏变换 ·计算输出与输入的拉氏变换之比 频率特性法 ·用实验的方法测定 G(s)= L[c(t] LIr(t)] e 单位脉冲响应法 Lg(t)] · 测量系统的单位脉冲响应 L[6(t)] ·对单位脉冲响应作拉氏变换 L[g(t)] 10
《控制导论——绪论》 上海交通大学自动化系 席裕庚 10 传递函数：求取方法 一般的求取方法 • 列写元件或系统的微分方程 • 在零初始条件下对方程进行拉氏变换 • 计算输出与输入的拉氏变换之比 频率特性法 • 用实验的方法测定 单位脉冲响应法 • 测量系统的单位脉冲响应 • 对单位脉冲响应作拉氏变换 [ ( )] ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] L c t G s L r t L g t L t L g t δ = = =