260 高等数学重点难点100讲 、资金溏量的现值 经济分析中很有用的资金流量(或收益流量)现值公式也可由定积分来表达 设第t年资金流量是t的连续函数R(),在时间t的微小区间[,t+d]内,资金流量近 似于R(t)dt,若设利率为r,该资金流量近似值R()dt的现值为 R(t) =R(t)edt,则从0到 n年年未资金流量总和的现值为 R(ted (69.7) 特别地,若每年的收益流量R(t)不变,均为常数A(此时称为均匀流量),则 Po=Ae-ndt= A(l-e"m)/r (69.8) 例2设生产某产品x个单位时边际收人为 MR=R(x)=200 100’x 试求:(1)生产产品为50个单位时的总收人; (2)若已知已生产产品100个单位,求再生产产品100个单位时的总收入 解(1)由公式(4),AR=(2000G)dx=[200x-2004=9985 (2)已经生产了100个单位,再生产100个单位的总收入仍用公式(4), AR (200 dx=[200x 300=19850 100 200 例3某产品总成本C(x)(万元)的边际成本C(x)=1,边际收入为生产量x(百台) 的函数:R(x)=5-x,试求:(1)生产量等于多少时,总利润L(x)=R(x)-C(x)为最 大;(2)从利润最大的生产量起又生产了100台,则总利润减少了多少? 解(1)因C(x)=1,故C(x)=1dx=x,又R(x)=5-x,故R(x)=5x 于是,L(x)=R(x)-C(x)=4 求导得L!(x)=4 令L(x)=0,解出x=4(百台),则x=4时,L(x)有最大值L(4)=8(万元) (2)从利润最大的生产量400台再生产100台,则共生产500台,其总利润L(5) 4 5-2=75,即总利润减少0.5万元 例4设连续收益流量每年7500元,持续3年,并且利率为7.5%,问其现值是多少? 解因为收益流量(即资金流量)R(t)为7500元,则由均匀流量计算公式(8),其现值 为 P=Ale-ndt=7500e-0.075dt 7500[1-e-03×3]=1000-0.7985)=20150(元) 0.075 例5某一设备使用寿命为10年,若购进该设备需50000元,若租用此设备,每月租金 850元设资金的年利率为14%按连续复利计算,问购进设备与租用设备哪一种方式合算? 解一种方法是计算租金流量总值的现值,然后与购进费用比较,由每月租金850元