0)=d(x,-y) ≤d(x,0)+d(0,-y) =d(x,0)+d(y,0)=x‖+‖yl 故‖‖为X上的范数,X为线性赋范空间 例3′考虑例3中的度量空间C[a,b.对于每个x=x()∈CIa,b],现在定义 按照函数空间的加法与数乘,C[a,b是线性空间.直接验证表明C[a,b]是赋范空间 此例也可用定理6的判定条件验证.同样地,例4的欧氏空间是赋范空间.注意例 中的s和例8中的S不是线性赋范空间.例如对于s,取x=(1,0,…),若a≠0,±1,则 d(a:0)=2+)4=adcx0) 由定理6,s不是线性赋范空间. 现在让我们转到比线性赋范空间更为特殊的一类空间 定义7设X为线性空间,若vx,y∈X,对应有标量,记为(x,y),满足 (1)(, x)=(x,y),Vx,yex (2)(ax,y)=a(x,y),vx,y∈X,a∈ (3)(x+y,-)=(x,2)+(y,2),Vx,y,∈X. (4)lx∈Y,(x,x)≥0.(x,x)=0时x=0 则称(x,y)是x,y的内积,称X为内积空间. 注意x,y∈X,a,B∈,容易得到 1°(0,y)=(x,0)=0 )=a(x,y) 3°(ax+By,-)=a(x,)+B(y,=) av+ 若标量域是R,则2°,3°,4°中的共轭均可以不出现 定理7在内积空间X中,若规定‖x=√(x,x),则 (1)(xys‖xⅢyl,wx,y∈x (2)‖是X上的范数,(X,‖·‖为线性赋范空间3° ) || x + y ||= d(x + y,0) = d(x,−y ≤ d(x,0) + d(0,−y) = d(x,0) + d( y,0) =|| x || + || y ||． 故|| ⋅|| 为 X 上的范数， X 为线性赋范空间． 例 3′ 考虑例 3 中的度量空间C[a,b]．对于每个 x = x(t)∈C[a,b]，现在定义 || x || max | x(t) | a≤t≤b = ． （8） 按照函数空间的加法与数乘，C[a,b]是线性空间．直接验证表明C[a,b]是赋范空间． 此例也可用定理 6 的判定条件验证．同样地，例 4 的欧氏空间是赋范空间．注意例 5 中的 s 和例 8 中的 S 不是线性赋范空间．例如对于 s ，取 x = (1,0,") ，若α ≠ 0,±1，则 ( ,0) 4 1 2(1 ) d( x,0) α α d x α α α ≠ = + = ． 由定理 6， s 不是线性赋范空间． 现在让我们转到比线性赋范空间更为特殊的一类空间． 定义 7 设 X 为线性空间，若∀x, y∈ X ，对应有标量，记为(x, y) ，满足 （1）( y, x) = (x, y) ，∀x, y∈ X ． （2）(αx, y) = α(x, y) ，∀x, y∈ X ，α ∈Φ ． （3）(x + y,z) = (x,z) + ( y,z) ，∀x, y,z ∈ X ． （4）∀x∈ X ，(x, x) ≥ 0 ．(x, x) = 0 时 x = 0 ． 则称(x, y) 是 x ， y 的内积，称 X 为内积空间． 注意∀x, y,z ∈ X ，α,β ∈Φ ，容易得到 1°(0, y) = (x,0) = 0 ． 2°(x,αy) = (αy, x) =α( y, x) =α (x, y) ． 3°(αx + βy,z) = α(x,z) + β( y,z) ． 4°(x,αy + βz) = α (x, y) + β (x,z)． 若标量域是 R ，则 2°，3°，4°中的共轭均可以不出现． 定理 7 在内积空间 X 中，若规定|| || ( , ) x = x x ，则 （1） ( , ) || |||| || x y xy ≤ ，∀x, y∈ X ． （2）|| ⋅|| 是 X 上的范数，(X ,|| ⋅||) 为线性赋范空间．