x||-lxn‖s‖x-xn|‖xn-xl‖l 从而 ‖xn|-|xsxn-xl (7) 若xn→x即‖xn-x|}→0,故有‖xn‖x‖ X→x 则 l(xn+yn)-(x+y)‖≤|xn-xl|+‖yn-y|→>0 即xn+yn→x+y 为证后面的式子成立,注意到收敛数列n是有界的,不妨设|λnM,则 nxn-Axl≤‖元nxn-xnxl+xnx-x 121x-x+12一x lx, -xll+am 当n→∞时后面两项都趋于0,故知结论成立 设(X,|D是线性赋范空间,以 (x,y)=x-y‖ 定义的X上的度量称为是由范数‖‖诱导的度量.今后当说到一个赋范空间的度量时,总是 指由它的范数诱导的度量.容易知道,线性赋范空间是线性度量空间.此时x→x当且仅 当 称这种收敛是依范数收敛.此外,集合EcX有界,当且仅当 p{‖xlx∈E}< 定理6线性空间X上的度量d使得X成为线性赋范空间,当且仅当d满足 (1)d(ax10)=l(x0),wx∈x,a∈ (2)d(x+=,y+s=d(x, y),x,y,EX 证明若X是线性赋范空间,‖‖为其范数,d(x,y)=x-y‖,由范数的性质可知 d(ar,0)=l a=a l x ad(x,O) d(x+,y+2)叫(x+2)-(y+2)|=x-y|=d(x,y) 反之,若d满足条件(1),(2),定义‖x|=d(x,0),则 1°显然‖x|0.若‖x|=0,即d(x、0)=0,由度量函数的性质,x=0 2 l rlp(aar,0)=ad(x,0)=a/llll|| || || || || || || || n nn x − x xx x x ≤− = − ， 从而 || || || || || || n n x − ≤− x xx ， （7） 若 x x n → 即|| x − x ||→ 0 n ，故有|| x || || x || n → ． 3°若 x x n → ， y y n → ，则 || ( ) ( ) || | || || || 0 nn n n x y xy x x y y + −+ ≤ − + −→ ， 即 x y x y n + n → + ． 为证后面的式子成立，注意到收敛数列λn 是有界的，不妨设| λn |≤ M ，则 || || || || || || nn nn n n λ x −≤ − + − λ λ λ λλ x x x xx || x x || || x || ≤ λn n − + λn − λ M || x x || || x || ≤ n − + λn − λ ， 当 n → ∞ 时后面两项都趋于 0，故知结论成立． 设(X ,|| ⋅||) 是线性赋范空间，以 d(x, y) =|| x − y || 定义的 X 上的度量称为是由范数|| ⋅|| 诱导的度量．今后当说到一个赋范空间的度量时，总是 指由它的范数诱导的度量．容易知道，线性赋范空间是线性度量空间．此时 x x n → 当且仅 当 || x − x ||→ 0 n ． 称这种收敛是依范数收敛．此外，集合 E ⊂ X 有界，当且仅当 sup{|| x ||; x∈ E}< ∞ ． 定理 6 线性空间 X 上的度量 d 使得 X 成为线性赋范空间，当且仅当 d 满足 （1） d(αx,0) = α d(x,0) ，∀x∈ X ，α ∈Φ ． （2） d(x + z, y + z) = d(x, y) ，∀x, y,z ∈ X ． 证 明 若 X 是线性赋范空间，|| ⋅|| 为其范数， d(x, y) =|| x − y ||，由范数的性质可知 d(αx,0) =||αx ||= α || x ||= α d(x,0) ， d(x + z, y + z) =|| (x + z) − ( y + z) ||=|| x − y ||= d(x, y)． 反之，若 d 满足条件（1），（2），定义|| x ||= d(x,0) ，则 1° 显然|| x ||≥ 0 ．若|| x ||= 0 ，即 d(x,0) = 0，由度量函数的性质， x = 0 ． 2° ||αx ||= ρ(αx,0) = α d(x,0) = α || x || ．