博士生学位专业课程一VLSI设计方法 作者：唐长文 二、数学最优化方法一几何规划(Geometric Programming) 假设x,,xn是n个正实变量。我们用x表示向量(x,,xn),如果一个函数∫满足下式， 称∫是向量x的一个多项式函数， f)=c k=1 其中Ck之0，ak∈R。C必须是一个非负数，而可以是任何实数，负数或分数。如果 1=1,只有一个项，称∫是向量x的一个单项式函数。多项式函数是加法、乘法和非负比例 三种操作，而单项式函数是乘法和非负比例两种操作。 几何优化[2]是如下形式的一个优化问题： minimize f(x) subject to f(x)<1,i=1,...,m, 8(x)=1,i=1,,p, x>0,i=1,,n, 其中，，∫m是多项式函数，8，，8m是单项式函数。 许多变形的多项式函数也是应用非常广泛的。例如，假定∫是一个多项式函数，g是 一个单项式函数，那么约束不等式fx)≤g()可以表示为四≤1，因为四是一个多 g(x) g(x) 项式函数。同样的，如果g和g2都是单项式函数，那么约束等式81(x)=82(x)可以表示 为8（四=1，因为8四是一个单项式函数。 82(x) 82(x) 1.凸型几何优化 一个几何优化问题可以转化称一个凸优化问题：在凸不等式约束和线性等式约束条件下 的凸函数的最小值问题。将几何优化问题转换称一个凸函数问题是我们得到几何优化问题的 全局最优结果的关键。 定义新的变量y=0gx,对多项式函数∫进行对数运算得到， 4博士生学位专业课程—VLSI 设计方法 作者：唐长文 4 二、数学最优化方法－几何规划（Geometric Programming） 假设 1,..., n x x 是 n 个正实变量。我们用 x 表示向量 1 ( ,..., ) n x x ，如果一个函数 f 满足下式， 称 f 是向量 x 的一个多项式函数， 1 2 1 12 1 ( ,..., ) k k nk t nk n k f x x cx x x α α α = = ∑ ⋅⋅⋅ 其中ck ≥ 0，αnk ∈ R 。 k c 必须是一个非负数，而αnk 可以是任何实数，负数或分数。如果 t =1,只有一个项，称 f 是向量 x 的一个单项式函数。多项式函数是加法、乘法和非负比例 三种操作，而单项式函数是乘法和非负比例两种操作。 几何优化[2]是如下形式的一个优化问题： minimize 0f ( ) x subject to ( ) 1, i f x ≤ i m =1,..., , g x i() 1 = ，i p =1,..., , xi > 0 ，i n =1,..., , 其中 1,..., m f f 是多项式函数， 1,..., g gm 是单项式函数。 许多变形的多项式函数也是应用非常广泛的。例如，假定 f 是一个多项式函数， g 是 一个单项式函数，那么约束不等式 f () () x gx ≤ 可以表示为 ( ) 1 ( ) f x g x ≤ ，因为 ( ) ( ) f x g x 是一个多 项式函数。同样的，如果 1 g 和 2 g 都是单项式函数，那么约束等式 1 2 gx gx () () = 可以表示 为 1 2 ( ) 1 ( ) g x g x = ，因为 1 2 ( ) ( ) g x g x 是一个单项式函数。 1. 凸型几何优化 一个几何优化问题可以转化称一个凸优化问题：在凸不等式约束和线性等式约束条件下 的凸函数的最小值问题。将几何优化问题转换称一个凸函数问题是我们得到几何优化问题的 全局最优结果的关键。 定义新的变量 y x i i = log ，对多项式函数 f 进行对数运算得到