高等数学教案 第七章微分方程 有时我们用记号D(微分算子)表示对x求导的运算，把少记作Dy dx 把"2记作D"y,并把方程(*)记作：(D”+pD++pD+P.y=0(*) d 记：L(D)=D”+P,D++Pn-D+Pn叫微分算子D的n次多项式。于是，方程 (*)可以记作L(D)y=0。 这里，r”+P,r+…+P-r+Pn=0是微分方程的特征方程，且可以验证y=e 就是(*)的一个解。 根据特征方程的根，可以写出其对应微分方程的解如下： 特征方程的根 微分方程通解中的对应项 单实根r 给出一项：Ce 一对单复根 1,2=a±Bi 给出两项：e“(C cos Bx+C2sinx) k重实根r 给出k项：em(C,+C2x++C4x-l) 一对k重复根 给出2k项： 八，2=a±Bi e[(C +Cx+...+Cx)cos+(D+Dx+...+Dx)sin 这样就得到n阶常系数齐次线性微分方程通解：y=Cy+C2y2++Cnyn。 (二)应用举例： 例5.求方程y④-2y"+5y"=0的通解。 解：微分方程的特征方程为：r4-2r3+5r2=0,特征根为： 1=52=0 3.4=1±2i 所给微分方程的通解：y=C1+C2x+e(C3cos2x+C4sin2x)。 例6求微分方宏+0=0的适银，共中月20. 解：这里的特征方程为r4+B4=0, 由于r4+B4=r4+2r2B2+B4-2r2B2=(r2+B2)2-2r2B2 =2+B2+V2rB)(2+B2-V2rB)-0