高等数学教案 第七章微分方程 r2+pr+q=0: 第二步：求出特征方程的两个根：片，： 第三步：按下表写出其通解： 特征方程的根 通解形式 两个不等的实根：片≠2 y=Ce+C,e 两个相等的实根：片=r= y=(C+C2x)e 一对共轭复根：i2=a土p y=e“(Ccos+C,sin) (二)举例应用： 例1.求方程y"-4y'=0的通解。 解：该方程的特征方程为：r2-4r=0,解得特征根为：片=0,52=4， 所以，其通解为：y=C,+C,e4r(C1,C2为任意常数)。 例2.求方程y”-9y'+9y=0的通解。 解：该方程的特征方程为：2-6r+9=0,解得特征根为：5=5=3， 所以，其通解为：y=(C,+C2x)ex(C,C,为任意常数)。 例3.求方程y”+4y'+13y=0的通解。 解：该方程的特征方程为：2+4r+13=0,解得特征根为：r=一2±3i, 所以，其通解为：y=(4cos3x+A,sin3x)e2x,(4,A为任意常数)。 例4.求方程y”-4y'+3y=0满足初始条件 y(0)=6 的特解。 y'(0)=10 解：该方程的特征方程为：r2-4r+3=0,解得特征根为：片=1,52=3， 其通解为：y=C,e+C,e3x且y'=C,e+3C,e3x。 y(0)=C1+C2=6 C1=4 又由初始条件 解得： y'(0)=C1+3C2=10 C2=2 所以，所求特解为y=4e+2e3r 三、n阶常系数齐次线性微分方程： (一)相关定义： n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是 ym+p,ym-+p2y-2)++P-y+Pny=0(*)（p1,P2,P都是常数)。 2