高等数学教案 第七章微分方程 第七节常系数齐次线性微分方程 教学内容：二阶常系数线性微分方程的求解方法 教学目标：熟练掌握二阶常系数线性微分方程的求解方法 教学重点：二阶常系数线性微分方程的求解方法 教学难点：有一对共轭复根时的通解形式 教学方法：讲练结合 作业：P3401(3),(6),(10):2(2),(3),(6):3 教学过程： 我们先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶的方程推广到阶方程。 一、二阶常系数线性微分方程的定义及其性质： (一)相关定义：定义1.二阶常系数齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分 方程：在二阶齐次线性微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=0中，如果y、y的系数 P(x以Q(x)均为常数，即形如y”+py'+qy=0(P,9为常数)的方程称为二 阶常系数齐次线性微分方程，如果P(x)Q(x)不全为常数，则称 y"+P(x)y'+Q(x)y=0为二阶变系数齐次线性微分方程。 对应着上节我们学习的齐次线性微分方程解的叠加原理定理，对于常系数的齐次线性微 分方程我们仍然有这样的定理： 定理1（二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加原理）如果函数y,y2是二阶齐次线 性常系数微分方程y”+py'+qy=0的两个解，那么函数 y=Cy,+C2y2(C1,C2为任意常数)也是该方程的解，并且当y1,y2线性无关时，函数 y=Cy,+C2y2就是该方程的通解。 证明：（略）。 定义2.特征方程、特征根： 设p,9是常数，关于P的一元二次方程r2+pr+q=0称为二阶常系数齐次线性 微分方程y”+Py'+9y=0的特征方程，它的两个根，2称为该二阶常系数齐次线 性微分方程的特征根。 二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法： (一)解法步骤： 第一步：写出微分方程y”+py'+9y=0(p,q为常数)的特征方程