高维微分学——向量值映照的极限 复旦力学谢锡麟 16年3月15日 知识要素 1.13lim∫(x)=3o∈R的意义 定义1.1(向量值映照极限).向量值映照极限为向量值映照的一种局部行为,记为彐 f(ae) 3o∈Rn,可按以下二种叙述理解 叙述 ve>0,彐6>0,满足:|f(c)-3on<0,V∈B6(x0)nr · Heine叙述 v{ nine C9{xo},xn→co∈R",有:f(xn)→3∈Rn 定理1.1(向量值映照极限的等价性叙述). Cauchy叙述等价于 Heine叙述 证明(1)证明由 Cauchy叙述得出 Heine叙述.考虑{xp} PEN C R,mp→ro∈Rm,需 证∫(xp)→3o∈Rn,则按 Cauchy叙述,有 V>0,彐>0,成立∫(x)∈B2(y0),Vx∈B62(xo)nm ∈Rm,即 彐N2∈N,成立xp∈B:(xo)n9x,Vp>Nb, 故有f(xp)∈B2(0),Vp>N,亦即f(xp)→3o∈Rn (2)证明由 Heine叙述得出 Cauchy叙述.利用反证法,假设 Cauchy叙述不成立,即有 日e*>0,V6>0,36∈B6(x0)n%x满足f(x)B.(3), 取5=,则彐xp∈B61(a0)n9满足f(x)gBn,(3).现有9{a}3p→0∈Rm,按 Heine叙述有∫(xp)→y∈Rn,故产生矛盾微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——向量值映照的极限 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n 的意义 定义 1.1 (向量值映照极限). 向量值映照极限为向量值映照的一种局部行为, 记为 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n , 可按以下二种叙述理解 • Cauchy 叙述 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 满足： |f(x) − y0 |Rn < 0, ∀x ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Df ; • Heine 叙述 ∀ {xn}n∈N ⊂ Df \{x0}, xn → x0 ∈ R m, 有：f(xn) → y0 ∈ R n . 定理 1.1 (向量值映照极限的等价性叙述). Cauchy 叙述等价于 Heine 叙述. 证明 (1) 证明由 Cauchy 叙述得出 Heine 叙述. 考虑 ∀ {xp}p∈N ⊂ R m, xp → x0 ∈ R m, 需 证 f(xp) → y0 ∈ R n , 则按 Cauchy 叙述, 有 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立 f(x) ∈ Bε(y0 ), ∀ x ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx. 由 xp → x0 ∈ R m, 即 ∃ Nδε ∈ N, 成立 xp ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Dx, ∀ p > Nδε , 故有 f(xp) ∈ Bε(y0 ), ∀ p > Nδε , 亦即 f(xp) → y0 ∈ R n . (2) 证明由 Heine 叙述得出 Cauchy 叙述. 利用反证法, 假设 Cauchy 叙述不成立, 即有 ∃ ε∗ > 0, ∀ δ > 0, ∃ xδ ∈ ◦ Bδ(x0) ∩ Dx 满足 f(xδ) /∈ Bε∗ (y0 ), 取 δp = 1 p , 则 ∃ xp ∈ ◦ Bδp (x0) ∩ Dx 满足f(xp) /∈ Bε∗ (y0 ). 现有 Dx\{x0} ∋ xp → x0 ∈ R m, 按 Heine 叙述有 f(xp) → y0 ∈ R n , 故产生矛盾. 1