高维微分学一一向量值映照的极限 谢锡麟 定理12(映照极限的 Cauchy收敛原理).已有(Rn,|·pη)为完备的赋范线性空间,则有 3 lim f(a)=o∈R 等价于 ve>0,彐6>0,满足|f(x)-f(i)lgn<e,i,∈B6(xo)∩ 证明(1)充分性.现有彐limf(x)=y∈Rn,按 Cauchy叙述有 ve>0,36>0,成立|(x)-lRn<e,Vx∈B5(mo)∩, 故有对v,∈B(x0)∩,有 f(m)-∫()Rn≤|∫(c)-3ln+|f(a)-3o|n<ε+e=2. (2)必要性.现有ve>0,36>0成立|f(x)-∫(正)n<6,V,,∈B5(x0)∩,考虑 V{xp}mcm\{ao},p→xo∈Rm,则有 彐N4∈N,成立0<|xp- olrm<be,Vp>Ns 故有 If(ap)-f(aqlRn <e, p,q>Ns 亦即{f(xp)} peN C R为基本点列再由(cn2,|ln)为完备的赋范线性空间,因此{∫(xp)}peC Rn收敛.再考虑 V{n}c9\{xo},亚p→m0∈Rn有f(xp)→3∈R", V{n}c9\{o},亚p→x0∈R”有f(xp)→3o∈R", 需证v0=30∈Rn.就此作 P=2k, -1,P 有{n}C9{ao},满足可p→o∈Rm,故有f()→0∈R.由于收敛点列的所有子列均 收敛且极限相同以及点列极限存在的唯一性,故有v=0=50.按映照极限的 Heine叙述,即 有彐limf()=3o∈Rn x→x0∈Rn 定义1.2(向量值映照的连续性),如果彐li∫(x)=∫(xo)∈R,则称∫(axo)在 x→ro∈Rm c0∈身点连续 1.2向量值映照极限的分析性质 性质13(基本分析性质,类比于一元函数极限,向量值映照极限亦具有如下基本性质微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学 —— 向量值映照的极限 谢锡麟 定理 1.2 (映照极限的 Cauchy 收敛原理). 已有 (R n , | · |Rn ) 为完备的赋范线性空间, 则有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n 等价于 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 满足 |f(x˜) − f(xˆ)|Rn < ε, ∀ x˜, xˆ ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Df 证明 (1) 充分性. 现有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n , 按 Cauchy 叙述有 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0, 成立 |f(x) − y0 |Rn < ε, ∀ x ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Df , 故有对 ∀ xe, xb ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Df , 有 |f(xe) − f(xb)|Rn 6 |f(xe) − y0 |Rn + |f(xb) − y0 |Rn < ε + ε = 2ε. (2) 必要性. 现有 ∀ ε > 0, ∃ δε > 0 成立 |f(xe) − f(xb)|Rn < δε, ∀ xe, xb ∈ ◦ Bδε (x0) ∩ Df . 考虑 ∀ {xp}Rm ⊂ Dx\{x0}, xp → x0 ∈ R m, 则有 ∃ Nδε ∈ N, 成立0 < |xp − x0|Rm < δε, ∀ p > Nδε , 故有 |f(xp) − f(xq)|Rn < ε, ∀ p, q > Nδε , 亦即 {f(xp)}p∈N ⊂ R n 为基本点列. 再由 (R n , |·|Rn ) 为完备的赋范线性空间, 因此 {f(xp)}p∈N ⊂ R n 收敛. 再考虑 ∀ {xep} ⊂ Df \{x0}, xep → x0 ∈ R m 有 f(xep) → ye0 ∈ R n , ∀ {xbp} ⊂ Df \{x0}, xbp → x0 ∈ R m 有 f(xbp) → yb0 ∈ R n , 需证 ye0 = yb0 ∈ R n . 就此作 xp =    xe2k, p = 2k, xb2k−1, p = 2k − 1, 有 {xp} ⊂ Df \{x0}, 满足 xp → x0 ∈ R m. 故有 f(xp) → y0 ∈ R n . 由于收敛点列的所有子列均 收敛且极限相同以及点列极限存在的唯一性, 故有 ye0 = yb0 = y0 . 按映照极限的 Heine 叙述, 即 有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n . 定义 1.2 (向量值映照的连续性). 如果 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = f(x0) ∈ R n , 则称 f(x0) 在 x0 ∈ Df 点连续. 1.2 向量值映照极限的分析性质 性质 1.3 (基本分析性质). 类比于一元函数极限, 向量值映照极限亦具有如下基本性质. 2