高维微分学—向量值映照的极限 谢锡麟 1.极限存在唯一性 彐limf(c)=3o∈Rn 如有 则有 lim f(a) R 2.局部有界性如果彐imf(x)=yo∈Rn,则有 M,OM∈R+,st.f(x)km≤M,vx∈B(xo)n9 3.多元函数极限的保号性保号性具有二个方面:(1)如果彐limf(a)>0,则彐λ∈R+, 有f(x)>0,Vx∈Bx(x0)∩9f;(2)如有彐imf(x)∈武,以及彐A∈R+,有 f()>(或≥)0,V∈B2(xo)∩男,则有彐imf(x)>0 4.多元函数极限的夹逼性设多元函数o(),v(x)和θ(x)具有共同的定义域9xCRm, 彐limo(x) v(x)=30∈R 如有 夹逼性条件叭(ax)≤(x)≤v(x),wx∈B(xo)n% 则有彐limb(x)=9o 定理14(复合映照极限定理).如有 lim(c)=30∈Rn, e(y R, 且满足“非接触性条件”0:彐入>0,有 A(B(ao)ngec e\yol 则有 1.存在局部复合,即有 e。6():BA(xo)∩9m+eoθ(x)=6((a); 2.彐lim6o0(x)=20=lim6(y)∈R 证明(1)按非接触性条件θ(Bx(xo)n)cme\{yo},显然成立 (2)利用Hine叙述,考虑{cp}cBx(0)n,xp→co∈Rm 由彐lim6(x)=y∈Rn的 Heine叙述,以及非接触性条件,有 Deyo 0(Ep) ①“非接触性”指,当x≠xo∈Rm,有θ(x)≠y∈R微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学 —— 向量值映照的极限 谢锡麟 1. 极限存在唯一性 如有    ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = z0 ∈ R n , 则有 y0 = z0. 2. 局部有界性 如果 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n , 则有 ∃M, δM ∈ R +, s.t. |f(x)|Rm ≤ M, ∀x ∈ ◦ BδM (x0) ∩ Df 3. 多元函数极限的保号性 保号性具有二个方面: (1) 如果 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) > 0, 则 ∃λ ∈ R +, 有 f(x) > 0, ∀x ∈ ◦ Bλ(x0) ∩ Df ; (2) 如有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) ∈ R, 以及 ∃λ ∈ R +, 有 f(x) > (或 ≥) 0, ∀x ∈ ◦ Bλ(x0) ∩ Df , 则有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) > 0. 4. 多元函数极限的夹逼性 设多元函数 ϕ(x), ψ(x) 和 θ(x) 具有共同的定义域 Dx ⊂ R m, 如有    ∃ lim x→x0∈Rm ϕ(x) = lim x→x0∈Rm ψ(x) = y0 ∈ R 夹逼性条件 ϕ(x) ≤ θ(x) ≤ ψ(x), ∀x ∈ ◦ Bλ(x0) ∩ Dx , 则有 ∃ lim x→x0∈Rm θ(x) = y0. 定理 1.4 (复合映照极限定理). 如有    ∃ lim x→x0∈Rm θ(x) = y0 ∈ R n , ∃ lim y→y0∈Rn Θ(y) = z0 ∈ R l , 且满足 “非接触性条件” ➀: ∃ λ > 0, 有 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ\{y0}, 则有 1. 存在局部复合, 即有 Θ ◦ θ(x) : ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ ∋ x 7→ Θ ◦ θ(x) ≡ Θ(θ(x)); 2. ∃ lim x→x0∈Rm Θ ◦ θ(x) = z0 = lim y→y0∈Rn Θ(y) ∈ R l . 证明 (1) 按非接触性条件 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ\{y0}, 显然成立. (2) 利用 Heine 叙述, 考虑 ∀ {xp} ⊂ ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ, xp → x0 ∈ R m. 由 ∃ lim x→x0∈Rm θ(x) = y0 ∈ R n 的 Heine 叙述, 以及非接触性条件, 有 DΘ\{y0} ∋ θ(xp) → y0 ∈ R n . ➀ “非接触性” 指, 当 x ̸= x0 ∈ R m, 有 θ(x) ̸= y0 ∈ R n . 3