高维微分学—向量值映照的极限 谢锡麟 又由彐1im(y)=z0∈R的 Heine叙述,有 y→3o∈Rn e(θ(cp)=6o6(cp) 综上,有彐lim日。0(x)=z0∈R 需指出,按连续性的 Heine叙述,如有 (y)=6(y0)∈R 则上述定理中“非接触性条件”可改为“可接触性条件” 彐入>0,有(Bx(xo)∩) 1.3向量值映照极限的计算 性质1.5(存在向量值映照极限等价于存在各分量极限) 彐limf(c)=30∈Rn分limf(m)=90∈R x→x0∈Rm 证明仅需到基本关系式 2-b|≤a-bm≤∑|a2-b 本性质表明,计算向量值映照的极限可以归结为计算其分量(多元函数)的极限. 性质1.6(多元函数极限的四则运算).设多元函数f(x)和g(x)具有相同的定义域%x如 有 彐limf(x)=A∈R,彐lim9(x)=B∈R, 则有 彐lim(af+Bg)(a)=aA+BB∈R 彐lim(fg)(x)=AB∈R A (x)=元∈R,此处B≠0 x→o∈Rm B 需指出,上述性质为计算函数极限的充分性方法,亦即可以把函数视成二个函数的线性组合、 乘积或除法,如果相应的函数都具有极限,则原函数的极限为相应极限的线性组合、乘积或比值微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学 —— 向量值映照的极限 谢锡麟 又由 ∃ lim y→y0∈Rn Θ(y) = z0 ∈ R l 的 Heine 叙述, 有 Θ(θ(xp)) = Θ ◦ θ(xp) → z0 ∈ R l . 综上, 有 ∃ lim x→x0∈Rm Θ ◦ θ(x) = z0 ∈ R l . 需指出, 按连续性的 Heine 叙述, 如有 ∃ lim y→y0∈Rn Θ(y) = Θ(y0 ) ∈ R l , 则上述定理中 “非接触性条件” 可改为 “可接触性条件” ∃ λ > 0, 有 θ( ◦ Bλ(x0) ∩ Dθ) ⊂ DΘ. 1.3 向量值映照极限的计算 性质 1.5 (存在向量值映照极限等价于存在各分量极限). ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = y0 ∈ R n ⇔ lim x→x0∈Rm f α (x) = y α 0 ∈ R 证明 仅需到基本关系式  a j − b j   6 |a − b|Rm 6 ∑m i=1  a i − b i   , j = 1, · · · , m. 本性质表明, 计算向量值映照的极限可以归结为计算其分量 (多元函数) 的极限. 性质 1.6 (多元函数极限的四则运算). 设多元函数 f(x) 和 g(x) 具有相同的定义域 Dx. 如 有 ∃ lim x→x0∈Rm f(x) = A ∈ R, ∃ lim x→x0∈Rm g(x) = B ∈ R, 则有    ∃ lim x→x0∈Rm (αf + βg)(x) = αA + βB ∈ R ∃ lim x→x0∈Rm (fg)(x) = AB ∈ R ∃ lim x→x0∈Rm ( f g ) (x) = A B ∈ R, 此处B ̸= 0 需指出, 上述性质为计算函数极限的充分性方法, 亦即可以把函数视成二个函数的线性组合、 乘积或除法, 如果相应的函数都具有极限, 则原函数的极限为相应极限的线性组合、乘积或比值. 4