相似矩阵具有相同的最小多项式4.证：设矩阵A与B相似，g(x),gε(x分别为它们的最小多项式。由A相似于B，存在可逆矩阵T，使B=T-1AT.从而 gA(B)=gA(T-IAT)=T-IgA(A)T=0从而gg(x)ga(x).. ga(x)也以B为根，ga(x)|gb(x).同理可得又gA(x),gB(x)都是首1多项式， ： gA(x)=gB(x).87.9最小多项式区区§7.9 最小多项式 4. 相似矩阵具有相同的最小多项式. 证：设矩阵A与B相似， g x g x A B ( ), ( ) 分别为它们的 最小多项式. 由A相似于B，存在可逆矩阵T , 使 1 B T AT. − = 从而 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 A A A g B g T AT T g A T − − = = = ( ) A  g x 也以B为根， 同理可得 ( ) ( ). A B g x g x ( ) ( ). B A 从而 g x g x 又 g x g x A B ( ), ( ) 都是首1多项式， ( ) ( ). A B  = g x g x