第十二章重积分 6.求三重积分:/=(x+y+h 0<z≤ 其中?={(x,y2 Ex 设f:ΩcR3→R,∫∈C(),且 A=Max((P),WP∈.|grad川≤M,证明: f(x,y,x≤A R 其中,V是域Ω的体积。 证明 a> 9.若x∈[]f(x)>0,单调减,设 x([1是y=f(x)在[上曲边梯形的重心x坐标; x(2,1]是y=f(x)在]上曲边梯形的重心x坐标 证明:x(/≥x(2D 0若x∈[0<m≤f(x)≤M,证明: 1< dxd≤ (M+m) 4Mm 0≤vsI 参考解答 1.计算累次积分 I=dx sit 解:=「d「Sm2 丌 第十二章重积分第十二章 重积分 第十二章 重积分 6. 求三重积分: I (x y z)dv   = + + 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 7. 设 f   R → R 3 : ,  () 1 f C , 且 A Max( f (P)) P = , P, grad f  M ,证明： ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中， V 是域  的体积。 8. 证明； 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  , a  0 . 9. 若 x0,1, f (x)  0, 单调减, 设 x(f ,0,1) 是 y = f (x) 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; ( ,0,1) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; 证明： ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f 10.若 x0,1, 0  m  f (x)  M , 证明： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        . 参 考 解 答: 1. 计算累次积分     = + 4 2 2 2 1 2 2 x x x dy y x dy dx Sin y x I dx Sin   解:   = 2 2 2 1 y y dx y x I dy Sin  =        − 2 1 2 2 2 dy y Cos Cos y    = (  )  2 + 4 2 y y=2 y=x y=x1/2 0 1 2 4 x