教案第十四章机械振动 量为山，根据转动定律有：-mg sin a=1 当小角度摆动时有：6+m0=0:0= mgl V:T-2mgl (4) 同理，利用(4)式可测量复摆的转动惯量和重力加速度。 3.大角度摆 无论单摆或复摆，当角度大于5时的摆动，我们称之为大角度摆，由于此种情况下， si不能近似为9，所以其运动形式要复杂一些，下面分析其运动规律。 +sin0=0 此时的动力学方程为：0 将sim9展开sm0=0-g+g dt- 这是个非线性问题，很难求得精确析解，但可利用迭代法求得其近似解为： 中oaf周 上式说明：摆的运动已不是单一的简谐振动，而是一种较为复杂的振动，它由两种 振动组合而成：一个是角频率为o的简谐振动，一个是以30为角频率的振动。 但上述解有个适用范围，当>20时，此解就不适用了。这是因为，当>20°时，其 运动形式对初始数值极其敏感，微小的初始条件变化会导致不相同的结果，因此不能连 做近似处理了。这种对初值非常敏感的非线性问题称为“混沌”现象。这是在确定性动 力学系统中存在的一种随机性运动，这时要选择精确的初始条件而确定其结果是根本上 不列的。系统运动具有显著的随机性，如对复杂的天气预报来讲，长期准确的预报天气 是不可能的。 下面给出大角度摆在三种不同起始条件下的运动情况， 对于a的情况，小球将作来回摆动。 对于b的情况，小球将不沿原路从高点返回，运动不具有往复性， 对于c的情况，小球将在竖直面内做圆周运动。 上述三种情况说明，对大角度摆当20°时，初始条件的不同将导致完全不一致的运 229 教案 第十四章 机械振动 229 量为 I，根据转动定律有：    − mg sin l = I 当小角度摆动时有：  +  = 0 I mgl  ； I mgl  = ； mgl I T = 2 （4） 同理，利用（4）式可测量复摆的转动惯量和重力加速度。 3. 大角度摆 无论单摆或复摆，当角度大于 5时的摆动，我们称之为大角度摆，由于此种情况下， sin不能近似为，所以其运动形式要复杂一些，下面分析其运动规律。 此时的动力学方程为： sin 0 2 2 0 2 +  =  dt d 将 sin展开 = − + + 3! 5! sin 3 5     取前两项代入前式有： 6 3 2 0 2 2 0 2      + = dt d ； 这是个非线性问题，很难求得精确析解，但可利用迭代法求得其近似解为： co t A A t 0 3 3 193  = cos −  其中         = − 10 1 2 0 A   上式说明：摆的运动已不是单一的简谐振动，而是一种较为复杂的振动，它由两种 振动组合而成；一个是角频率为的简谐振动，一个是以 30 为角频率的振动。 但上述解有个适用范围，当>20时，此解就不适用了。这是因为，当>20时，其 运动形式对初始数值极其敏感，微小的初始条件变化会导致不相同的结果，因此不能连 做近似处理了。这种对初值非常敏感的非线性问题称为“混沌”现象。这是在确定性动 力学系统中存在的一种随机性运动，这时要选择精确的初始条件而确定其结果是根本上 不列的。系统运动具有显著的随机性，如对复杂的天气预报来讲，长期准确的预报天气 是不可能的。 下面给出大角度摆在三种不同起始条件下的运动情况。 对于 a 的情况，小球将作来回摆动。 对于 b 的情况，小球将不沿原路从高点返回，运动不具有往复性。 对于 c 的情况，小球将在竖直面内做圆周运动。 上述三种情况说明，对大角度摆当>20时，初始条件的不同将导致完全不一致的运 mg C l  O