3.相似矩阵 设T在P”的两个基{x1,x,…,x}及{x,x,…,x的矩阵分别为A和B,且 x,x2,…,xC,则 B=C-IAC 即A和B为相似矩阵 B T[x1x2…,x]C=[x1,x2,…,x]CB x, AC CB AC=CB即B=C-AC 定理:n阶方阵A和B相似的充要条件是A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵 证明]必要性:已知A和B相似,即存在可逆矩阵P使B=P1AP 选取一个基{x,x2…xn}定义T[x1,x2;…x]=[x,x2…,x]A 考虑[x,x,…x=[x,x2…x]P可作为基,且 x [x1,x2…x]AP x1,x2,…, xn ap B A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵。 充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。 三、线性变换及矩阵的值域和核 定义:设T是线性空间V”的线性变换,称 R(T)={7x|x∈V"}为T的值域 I",Tx=0}称为T R(T)和N(T)均为”的子空间3.相似矩阵 设 T 在 n V 的 两 个 基 x x x 1 2 , , , n 及   ' ' ' 1 2 , , , n x x x 的 矩 阵 分 别 为 A 和 B ， 且 ' ' ' 1 2 , , , n   x x x   ＝x x x 1 2 , , , n  C ，则 1 B C AC − = 即 A 和 B 为相似矩阵。 [证明] 1 2 1 2 , , , , , , T x x x x x x A n n         = ' ' ' ' ' ' 1 2 1 2 , , , , , , T x x x x x x B n n         = T x x x C x x x CB  1 2 1 2 , , , , , , n n  =   x x x AC x x x CB 1 2 1 2 , , , , , , n n  =    = AC CB 即 1 B C AC − = 定理： n 阶方阵 A 和 B 相似的充要条件是 A 和 B 为同一线性变换在不同基下的矩阵。 [证明] 必要性：已知 A 和 B 相似，即存在可逆矩阵 P 使 1 B P AP − = 选取一个基 x x x 1 2 , , , n ，定义 T x x x x x x A  1 2 1 2 , , , , , , n n  =   考虑 ' ' ' 1 2 1 2 , , , , , , n n     x x x x x x P =     可作为基，且   ' ' ' 1 2 1 2 , , , , , , T x x x T x x x P n n   =   = x x x AP 1 2 , , , n  ' ' ' 1 1 2 , , , n x x x P AP − =     ' ' ' 1 2 , , , n =   x x x B    A 和 B 为同一线性变换在不同基下的矩阵。 充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。 三、线性变换及矩阵的值域和核 1. 定义：设 T 是线性空间 n V 的线性变换，称 ( ) |   n R T Tx x V =  为 T 的值域； ( ) | , 0   n N T x x V Tx =  = 称为 T 的核。 R T( ) 和 N T( ) 均为 n V 的子空间