9.一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比 考研真题十二 例常数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为ro的 1.微分方程xy"+3y'=0的通解为 00数一考研题 雪堆在开始融化的3小时内融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小 2.某湖泊的水量为F,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V6,流 入湖泊内不含A的水量为V6,流出湖泊的水量为/3.已知1999年底湖中A 的含量为5mo,超过国家规定指标,为了治理污染,从2000年初起,限定排入 10微分方程y+y2=0满足初始条件1-=1,y1的特解 湖泊中含A污水的浓度不超过m0/V.问至多需要经过多少年,湖泊中污染物 c数一考研题 的含量降至m以内?(设湖水中A的浓度是均匀的) 11.(1)验证函数 数一考研题 3.设函数f(x)满足方程∫"(x)+∫'(x)=x,且∫(0)=0,则() (A)f(0)是f(x)极大值 (B)f(0)是∫(x)极小值 (x)=1+S3+9+…+n (C)点(0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点 满足微分方程y”+y’+y=ex (D)f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0)也不是曲线y=f(x)的拐点 (2)利用()的结果求幂级数∑x”的和函数 00数二考研题 4.函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式 12.设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条 f(x)+f(r) f(r)dr 件y(0)=y(0)=0的特解,则当x→0时,函数 y(r) (1)求导数∫(x (2)证明:当x≥0时,不等式e"x≤f(x)≤1成立 00数二考研题 (A)不存在,(B)等于1;(C)等于2,(D)等于3.数二考研题 5.设y=e( CAsino+C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数 13.求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线 线性齐次微分方程的通解,则该方程为 y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x 01数一考研题 6过点(且满足关系式ymm+221的曲线方程为 旋转体体积最小 ①数二考研题 14.设函数y=y(x)在(∞,+∞)内具有二阶导数,且y'≠0,x=x(y) 7.设函数f(x,g(x)满足f(x)=g(x),g'(x)=2e-f(x)且f(0)=0 y=y(x)的反函数 c数一考研题 g(0)=2,求 ∫12-a1 (1)试将x=x(y)所满足的微分方程 0数二考研题 +(y+sinx 8.设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的 距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(1/2,0)数二考研题 变换为y=y(x)所满足的微分方程 (1)试求曲线L的方程 )求变换后的微分方程满足初始条件y0)=0,y(0=号的解 (2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所 围成的图形的面积最小 15.已知是微分方程y=2+ (引)的解,则叫(引的表达式为考研真题十二 ( ) (0) ( ) , (0, (0)) ( ) . ( ) (0, (0)) ( ) ; ( ) (0) ( ) ; ( ) (0) ( ) ; 3. ( ) ( ) ( ) , (0) 0, ( ). ? ). . , 5 , . , 2000 , 3 . 1999 2. , 6 , 0 0 0 不是 的极值 点 也不是曲线 的拐点 点 是曲线 的拐点 是 极大值 是 极小值 设函数 满足方程 且 则 以内 设湖水中 的浓度是均匀的 污水的浓度不超过 问至多需要经过多少年 湖泊中污染物 的含量为 超过国家规定指标 为了治理污染 从 年初起 限定排入 的水量为 已知 年底湖中 某湖泊的水量为 每年排入湖泊内含污染物 的污水量为 流 D f f x f y f x C f y f x A f f x B f f x f x f x f x x f A m A A m V m A V A V A V = =  +  =  = 入湖泊内不含 ( 7. ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) 2 ( ), (0) 0, 1 ___. 1 , 0) arcsin 2 1 6. ( , ____________ . 5. ( sin cos ) , ) (2) : 0 , ( ) 1 . (1) ( ); ( ) 0 , 1 1 ( ) ( ) 4. ( ) [ 0 , ) , (0) 1, 2 1 2 1 2 0 设函数 满足 且 过点 且满足关系式 的曲线方程为 线性齐次微分方程的通解 则该方程为 设 为任意常数 为某二阶常系数 证明 当 时 不等式 成立 求导数 函数 在 上可导 且满足等式 f x g x f x g x g x e f x f x y y x y e C x C x C C x e f x f x f t dt x f x f x f x f x x x x  =  = − = = −  + = +     = +  + − + = − ( 00数二考研题 00数二考研题 00数二考研题 01数一考研题 01数二考研题 V 6 , 流出湖泊的水量为 湖泊中含 的含量降至 1. 微分方程 xy  + 3y  = 0 的通解为 __________ . 00数一考研题 / . (2) , (1) ; , (1/2 , 0). 8. , ( , ) 0) 围成的图形的面积最小 求 位于第一象限部分的一条切线 使该切线与 以及两坐标轴所 试求曲线 的方程 距离恒等于该点处的切线在 轴上的截距 且 经过点 设 是一条平面曲线 其上任意一点 到坐标原点的 L L L y L L P x y ( x  01数二考研题 . ] (1 ) ( ) 1 ( ) [ (0) 2, 0 求 2 dx x f x x g x g + − + =  01数二考研题 32 . . . ( ) 1, 2 13. ( 2 ) 0 ( ), ( ). ( ) ln(1 ) (0) (0) 0 , 0 , 12. ( ) . (3 )! (2) (1) 2 3 0 3 旋转体体积最小 与直线 以及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的 求微分方程 的一个解 使得由曲线 的特解 则当 时 函数 的极限 设 是二阶常系数微分方程 满足初始条 利用 的结果求幂级数 的和函数 y y x x x x x xdy x y dx y y x y x x y y x y y x y py qy e n x x n n = = = + − = = + =  = → =  +  + =   = ; ( ) 3! 6! 9! (3 )! ( ) 1 11. 1) ____________ . 2 1 10. 0 1, 3 6 9 3 0 0 2 满足微分方程 验证函数 是 微分方程 满足初始条件 y y y e x n x x x x y x y y y y y x n x x  +  + = = + + + + + + −   + +  = =  = = =   ( 的特解 ( ) . ( ) ( , ) , ' 0 , ( ) 是 的反函数 设函数 在 内具有二阶导数 且 = = − +  = y y x 14. y y x y x x y 02数一考研题 02数一考研题 02数二考研题 02数二考研题 03数一考研题 ? 3 7/ 8 , 0 . , 9. , , 0 小时内融化了其体积的 问雪堆全部融化需要多少小 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状 已知半径为 的 一个半球体状的雪堆 其体积融化的速率与半球面面积 成正比 比 K r S 例常数  雪堆在开始融化的 时 01数二考研题 件 (A) 不存在; (B) 等于1; (C) 等于2; (D) 等于3. . 2 3 (2) (0) 0, '(0) ( ) ; 求变换后的微分方程满足初始条件 的解 变换为 所满足的微分方程 = = = y y y y x (1) 试将 x = x ( y) 所满足的微分方程 0 ) ( sin ) 3 2 2 + + = dy dx y x dy d x ( ( ) , ( ) ' ln 15. y x y x x y y x x 已知 y = 是微分方程 = +  的解 则  的表达式为 33 .