·92· 智能系统学报 第12卷 (1l+1王l》≥aIkl, 根据定理1，当>T时，4：=uo,x:=x0,则二阶 子系统闭环表达式(19)化简为 (21) (2.=-k(L+B)2.-kasign [(L +B)]- 式中，a=min(入mia(L+B),Ain(L+B))。 对V,沿着轨迹式(19)求导可得 uio(L+B)3-1x20 2=.(L+B)2.+环(L+B)21.= E3.=-kou10E3:+u1oc2: (25) -k3.(L+B)22:-k4‖.(L+B)1 则式(22)整理为 x.(L+B)u1.(L+B)x3:- 2=-k(L+B)2·-kl(L+B) .(L+B)1nx0-k.(L+B)2|u1.E3.+ .(L+B)1xo-koluo.(L+B)2年：≤ (L+B)2u1.x2·+.(L+B)y -k.(L+B)2·-(k4-K)I.(L+B)l1 (22) koluo.(L+B)2年3 (26) 根据定理1可知，在有限时间内，机器人的状态 误差x,收敛于0，这就意味着x1·是有界的，即存在 因为式(26)中(L+B)2>0,k4>K,k3>0,所以V2≤ 一个正数C,使‖u1-‖p<C,xo<C,|xo<C成立， 0。则二阶子系统式(19)至少是一致渐进稳定。 进而存在一个正数u,使得Iy‖2≤μ。再根据矩阵 广2≤-k.(L+B)2元2- 范数与向量范数的相容性定理和Cauchy-Schwarz不 koluo.(L+B)-2BV2 等式，由式(22)得 式中B=min(k入(L+B),kuo)。那么，可得V2≤ V2≤Iyl2L+B呢lx3Iz+ (7,)ep(-2B=T)ep-28(5-T1. 2‖u1.lIL+Bl2‖x3.l2x2.‖2≤ 专eR,专∈(T,t)。所以，V2指数收敛于0，进而可得 2CIL+B+川L+BI, lim(x2:-x0)=0,lim(x-x0)=0。定理2得证。 综合定理1和定理2，当t≤T,时，一阶子系统的 当，≤1时，可以得到 变量x:有限时间收敛于0，二阶子系统的变量xx,x是 ,≤2c1L+By+L+B呢(23) a 有界的：当t>T1时，一阶子系统的x:收敛于0，二阶子 当1x3‖2>1时，可以得到 系统x:,x指数收敛于0，这也意味着在分布式控制算 法式(15)和式(16)的作用下，每个机器人个体的各个 店≤2L+a*中aL+B店I≤ 变量x:,,x,至少指数收敛为0。本文讨论的机器人 2CIL+B,+24L+By,(24) 的通信拓扑结构是无向连通的，而当通信网络是有向 Q 拓扑时，则L+B不是对称矩阵，需要重新设计Lya- 结合式(23)和式(24)可知，对于任何x2,和 punov函数来证明系统的稳定性。 x3·,V2都满足： 3 仿真结果分析 。≤L+BBec+w+L+B房 本节中，我们用MATLAB对移动机器人系统进 行了仿真研究，仿真中n=4,移动机器人之间的通 求解上述微分不等式可得 信拓扑为 '(0)+。 L+B明 [2 -1-1 01 [1000 V2≤ 二|L+B2(2C+u) -11 0 0 10000 L= ,B= -10 2 -1 0010 P2IL+2G+ 0 0 -11 0000 期望的编队队形.为一个正方形： L+B昭 (P1xP,)=(1,1),(P2xP2）=（-1,1) 2IL+B(2C+4) (PxP3）=（-1,-1),(P4P4)=(1,-1) 于是，当t≤T,时V2是有界的，进而x2,和x 虚拟领导者0的，=4，=了，初始状态为 是有界的。 [x(0)y(0)9(0)]T=[0-120]T。通过坐标变 2)证明当t>T1时，x2.和x3,指数收敛于零。 换式(8)，计算得到K=|x0=0。再根据定理2，选α ２ ‖ｘ ～ ２∗‖２ ２ ＋ ‖ｘ ～ ３∗‖２ ２ ( ) ≥ α ‖ｘ ～ ２∗‖２‖ｘ ～ ３∗‖２ （２１） 式中，α＝ｍｉｎ λｍｉｎ（Ｌ＋Ｂ），λ ２ ( ｍｉｎ（Ｌ＋Ｂ） ) 。 对 Ｖ２ 沿着轨迹式（１９）求导可得 Ｖ · ２ ＝ ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ·～ ２∗ ＋ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ·～ ３∗ ＝ － ｋ３ ｘ ～ Ｔ ２∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ２∗ － ｋ４‖ ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ）‖１ － ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ）ｕ１∗（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ ３∗ － ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ）１ｎ ｘ · ２０ － ｋ０ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｕ１∗ ｘ ～ ３∗ ＋ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｕ１∗ ｘ ～ ２∗ ＋ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｙ （２２） 根据定理 １ 可知，在有限时间内，机器人的状态 误差 ｘ ～ １∗ 收敛于 ０，这就意味着 ｘ ～ １∗ 是有界的，即存在 一个正数 Ｃ，使‖ｕ１∗‖Ｆ ＜Ｃ， ｘ２０ ＜Ｃ， ｘ３０ ＜Ｃ 成立， 进而存在一个正数 μ，使得‖ｙ‖２≤μ。 再根据矩阵 范数与向量范数的相容性定理和 Ｃａｕｃｈｙ⁃Ｓｃｈｗａｒｚ 不 等式，由式（２２）得 Ｖ · ２ ≤ ‖ｙ‖２‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ‖ｘ ～ ３∗‖２ ＋ ２ ‖ｕ１∗‖Ｆ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ‖ｘ ～ ３∗‖２‖ｘ ～ ２∗‖２ ≤ ２ α Ｃ ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ Ｖ２ ＋ μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ‖ｘ ～ ３∗‖２ 当‖ｘ ～ ３∗‖２≤１ 时，可以得到 Ｖ · ２ ≤ ２ α Ｃ ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ Ｖ２ ＋ μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ （２３） 当‖ｘ ～ ３∗‖２＞１ 时，可以得到 Ｖ · ２ ≤ ２ α Ｃ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ Ｖ２ ＋ μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ‖ｘ ～ ３∗‖２ ２≤ ２ α Ｃ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ Ｖ２ ＋ ２ α μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ Ｖ２ （２４） 结合式（２３） 和式（２４） 可知，对于任何 ｘ ～ ２∗ 和 ｘ ～ ３∗ ，Ｖ · ２ 都满足： Ｖ · ２ ≤ ２ α ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ (２Ｃ ＋ μ) Ｖ２ ＋ μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ 求解上述微分不等式可得 Ｖ２ ≤ Ｖ２（０） ＋ μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ ２ α ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ（２Ｃ ＋ μ） é ë ê ê ê ù û ú ú ú × ｅｘｐ ２ α ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ（２Ｃ ＋ μ） é ë ê ê ù û ú ú { ｔ} － μ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ ２ α ‖Ｌ ＋ Ｂ‖２ Ｆ（２Ｃ ＋ μ） 于是，当 ｔ≤Ｔ１ 时 Ｖ２ 是有界的，进而 ｘ ～ ２∗ 和 ｘ ～ ３∗ 是有界的。 ２）证明当 ｔ＞Ｔ１ 时，ｘ ～ ２∗ 和 ｘ ～ ３∗ 指数收敛于零。 根据定理 １，当 ｔ＞Ｔ１ 时，ｕ１ｉ ＝ ｕ１０ ，ｘ１ｉ ＝ ｘ１０ ，则二阶 子系统闭环表达式（１９）化简为 ｘ ·～ ２∗ ＝ － ｋ３（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ ２∗ － ｋ４ ｓｉｇｎ （Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ [ ２∗ ] － ｕ１０（Ｌ ＋ Ｂ） ｘ ～ ３∗ － １ｎ ｘ · ２０ ｘ ·～ ３∗ ＝ － ｋ０ ｕ１０ ｘ ～ ３∗ ＋ ｕ１０ ｘ ～ ２∗ ì î í ï ï ï ï （２５） 则式（２２）整理为 Ｖ · ２ ＝ － ｋ３ ｘ ～ Ｔ ２∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ２∗ － ｋ４‖ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ）‖１ － ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ） １ｎ ｘ · ２０ － ｋ０ ｕ１０ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ３∗ ≤ － ｋ３ ｘ ～ Ｔ ２∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ２∗ － （ｋ４ － κ） ‖ｘ ～ Ｔ ２∗（Ｌ ＋ Ｂ）‖１ － ｋ０ ｕ１０ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ３∗ （２６） 因为式（２６）中（Ｌ＋Ｂ） ２ ＞０，ｋ４＞κ，ｋ３＞０，所以 Ｖ · ２≤ ０。 则二阶子系统式（１９）至少是一致渐进稳定。 Ｖ · ２ ≤－ ｋ３ ｘ ～ Ｔ ２∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ２∗ － ｋ０ ｕ１０ ｘ ～ Ｔ ３∗ （Ｌ ＋ Ｂ） ２ ｘ ～ ３∗ ≤－ ２βＶ２ 式中 β＝ｍｉｎ（ｋ３λｍｉｎ（Ｌ＋Ｂ），ｋ０ ｕ１０ ）。 那么，可得 Ｖ２≤ Ｖ２（Ｔ１）ｅｘｐ － ２ ∫ ｔ Ｔ１ ( βｄτ ) ＝ Ｖ２（Ｔ１） ｅｘｐ [－２β（ξ）（ｔ－Ｔ１）] ， ξ∈Ｒ ＋ ，ξ∈（Ｔ１，ｔ）。 所以，Ｖ２ 指数收敛于 ０，进而可得 ｌｉｍ ｔ→¥ （ｘ２ｉ －ｘ２０ ）＝ ０，ｌｉｍ ｔ→¥ （ｘ３ｉ －ｘ３０ ）＝ ０。 定理 ２ 得证。 综合定理 １ 和定理 ２，当 ｔ≤Ｔ１ 时，一阶子系统的 变量 ｘ ～ １ｉ有限时间收敛于 ０，二阶子系统的变量 ｘ ～ ２ｉ，ｘ ～ ３ｉ是 有界的；当 ｔ＞Ｔ１ 时，一阶子系统的 ｘ ～ １ｉ收敛于 ０，二阶子 系统 ｘ ～ ２ｉ，ｘ ～ ３ｉ指数收敛于 ０，这也意味着在分布式控制算 法式（１５）和式（１６）的作用下，每个机器人个体的各个 变量 ｘ ～ １ｉ，ｘ ～ ２ｉ，ｘ ～ ３ｉ至少指数收敛为 ０。 本文讨论的机器人 的通信拓扑结构是无向连通的，而当通信网络是有向 拓扑时，则 Ｌ＋Ｂ 不是对称矩阵，需要重新设计 Ｌｙａ⁃ ｐｕｎｏｖ 函数来证明系统的稳定性。 ３ 仿真结果分析 本节中，我们用 ＭＡＴＬＡＢ 对移动机器人系统进 行了仿真研究，仿真中 ｎ ＝ ４，移动机器人之间的通 信拓扑为 Ｌ ＝ ２ － １ － １ ０ － １ １ ０ ０ － １ ０ ２ － １ ０ ０ － １ １ é ë ê ê ê êê ù û ú ú ú úú ，Ｂ ＝ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ ０ ０ é ë ê ê ê êê ù û ú ú ú úú 期望的编队队形 Ｆ 为一个正方形： （ｐ１ｘ，ｐ１ｙ） ＝ （１，１），（ｐ２ｘ，ｐ２ｙ） ＝ （ － １，１） （ｐ３ｘ，ｐ３ｙ） ＝ （ － １， － １），（ｐ４ｘ，ｐ４ｙ） ＝ （１， － １） 虚拟领导者 ０ 的 ｖ０ ＝ ４，ω０ ＝ １ ３ ，初始状态为 ［ｘ０（０） ｙ０（０） θ０（０）］ Ｔ ＝ ［０ －１２ ０］ Ｔ 。 通过坐标变 换式（８），计算得到 κ ＝ ｘ · ２０ ＝ ０。 再根据定理 ２，选 ·９２· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷