我们称由(1)定义的环为由C生成的环,记为R(C),由定理4知道,R(C)是包含C 的最小的环 ={Ua,b1(,b1(a,b=(≠D,k≥21 由例1和定理4知道是一个环 Il代数与-代数 定义5设4是一个非空集类.若A对并运算和余运算封闭,则称为一个代数 容易知道,集类A是一个代数当且仅当A是一个包含全空间X的环.结合环的运算 封闭性知道,若A是一个代数,则②,X∈,并且A对有限并、有限交、差和余运算封闭 定义6若丌是一个非空集类,满足 (1)若A∈,则4∈ (2)若A∈,n=1,2,…则A,∈丌 则称丌为一个σ-代数(或σ-域) 例4设分={x,则},则是X上的σ-代数,这是X上的最小的σ-代数 例5设(X)是由X的全体子集所成的集类则(X)是一个σ-代数.这是X上的 最大的σ-代数 例6设X是一个无限集令={A:A.或者AC是有限集}.则A是X上的一个代 数.由于4对可数并运算不封闭,因此A不是一个-代数.若令={4:A或者AC 多是可数集}则是X上的一个σ-代数.以上结论的验证留作习题 定理7设是一个σ-代数.则 (1)⑧∈丌,X∈丌 (2)牙对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭 证明由于 An=A1U…UAn∪An 即有限并可以表示成可数并.由于丌对可数并运算封闭,因此丁对有限并运算封闭.因此 丌是代数,由代数的性质知道X,⑧∈牙并且对有限交运算和差运算封闭。由De20 图 3—1 我们称由(1)定义的环R 为由C 生成的环, 记为R (C ).由定理 4 知道, R (C ) 是包含C 的最小的环. 例 3 设 { ( , ]: ( , ] ( , ] ( ), 1}. 1 = ∩ = ∅ ≠ ≥ = a b a b a b i j k i i j j k i R ∪ i i 由例 1 和定理 4 知道R 是一个环. II 代数与σ -代数 定义 5 设A 是一个非空集类. 若 A 对并运算和余运算封闭, 则称为一个代数. 容易知道, 集类 A 是一个代数当且仅当 A 是一个包含全空间 X 的环. 结合环的运算 封闭性知道, 若 A 是一个代数, 则∅, X ∈ A 并且 A 对有限并、有限交、差和余运算封闭. 定义 6 若F 是一个非空集类, 满足 (1) 若 ∈F , ∈F . c A 则A (2) 若 , 1, 2, , . 1 ∈F = ∈F ∞ = " ∪ n An n 则 An 则称F 为一个σ -代数(或σ -域).. 例 4 设F ={X ,∅},则F 是 X 上的σ -代数. 这是 X 上的最小的σ -代数. 例 5 设P (X ) 是由 X 的全体子集所成的集类. 则P (X ) 是一个σ -代数. 这是 X 上的 最大的σ -代数. 例 6 设 X 是一个无限集. 令 A = {A : A. 或者 C A 是有限集}. 则 A 是 X 上的一个代 数. 由于 A 对可数并运算不封闭, 因此 A 不是一个σ -代数. 若令F = {A: A 或者 C A 至 多是可数集} 则F 是 X 上的一个σ -代数. 以上结论的验证留作习题. 定理 7 设F 是一个σ -代数. 则 (1) ∅ ∈F , X ∈F . (2) F 对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭. 证明 由于 , A1 ∪"∪ An = A1 ∪"∪ An ∪ An " 即有限并可以表示成可数并. 由于F 对可数并运算封闭, 因此F 对有限并运算封闭. 因此 F 是代数，由代数的性质知道 X ,∅ ∈F 并且 F 对有限交运算和差运算封闭。 由 De