Morgan公式得到∩A=(∪A),由于对可数并和余运算的封闭性知道对可数交 运算封闭■ 以上定义的四种集类的关系是,每个σ-代数都是代数,每个代数都是环,每个环都是 半环 思考题:1分别举例说明半环不必是环,环不必是代数,代数不必是σ-代数 2.举例说明σ-代数对任意多个集的并运算不一定封闭 由集类生成的σ-代数在定理4中我们已经知道,给定一个非空集类C,存在一个包含 C的最小的环(C).关于-代数和代数有类似的结果 定理8设C是一个非空集类则必存在唯一的一个σ-代数,满足 (2)对任何包含C的σ-代数丌,必有T'→丌 证明由X的全体子集所成的集类P(X)是一个σ-代数.因此至少存在一个包含C 的σ-代数.令 5=-∩{:是包含C的一代数 则丌是一个包含C的σ-代数.事实上,显然非空并且丌三C.设 A,∈丌,n=12,…往证∪A∈丌设界’是任意一个包含C的a·代数。则 A,∈,n=12…,由于是a代数,因此UA,∈,这表明A∈.因此了 对可数并运算封闭类似可以证明对余运算封闭因此T是一个包含C的σ-代数由 的定义知道,对任何包含C的σ-代数丌′,必有丌′丌.因此存在性得证唯一性 是显然的■ 由定理8,对任意一个非空集类C,存在唯一的一个包含C的最小的σ一代数.这个 -代数称为由C生成的a-代数,记为G(C).类似可定义由C生成的代数,记为.A(C) 例7设C是由X的单点子集的全体所成的集类.则 σ(C)={A:A或A是有限集或可数集} 证明将(3)的右边所定义的集类记为丌.显然丌三C.不难验证是一个σ-代数 (具体验证过程留作习题)另一方面,设了是任意一个包含C的a-代数若A是至多可数 集,则A可以表示成单点集的有限并或可数并既然包含C并且对有限并和可数并运21 Morgan公式得到 ( ) , 1 1 C n C n n ∩An ∪A ∞ = ∞ = = 由于F 对可数并和余运算的封闭性知道F 对可数交 运算封闭.■ 以上定义的四种集类的关系是, 每个σ -代数都是代数, 每个代数都是环, 每个环都是 半环. 思考题: 1.分别举例说明半环不必是环, 环不必是代数, 代数不必是σ -代数. 2. 举例说明σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭. 由集类生成的σ -代数 在定理 4 中我们已经知道, 给定一个非空集类C , 存在一个包含 C 的最小的环R (C ). 关于σ -代数和代数有类似的结果. 定理 8 设C 是一个非空集类.则必存在唯一的一个σ -代数F ,满足 (1) F ⊃ C . (2) 对任何包含C 的σ − 代数 F ′, 必有F ′ ⊃ F . 证明 由 X 的全体子集所成的集类P (X ) 是一个σ − 代数. 因此至少存在一个包含C 的σ -代数. 令 F =∩{F ′ :F ′是包含C 的σ − 代数}. 则 F 是一个包含 C 的 σ - 代 数 . 事实上 , 显 然 F 非空并且 F ⊃ C . 设 A ∈ , n = 1, 2,". n F 往 证 . 1 ∈F ∞ = ∪ n An 设 F ′ 是任意一个包含 C 的 σ - 代 数 . 则 An ∈ F ′, n = 1, 2,".由于F ′ 是σ -代数, 因此 . 1 ∈F ′ ∞ = ∪ n An 这表明 . 1 ∈F ∞ = ∪ n An 因此F 对可数并运算封闭. 类似可以证明F 对余运算封闭. 因此F 是一个包含C 的σ − 代数.由 F 的定义知道, 对任何包含C 的σ − 代数 F ′, 必有F ′ ⊃ F . 因此存在性得证.唯一性 是显然的.■ 由定理 8, 对任意一个非空集类C , 存在唯一的一个包含C 的最小的σ − 代数. 这个 σ -代数称为由C 生成的σ -代数, 记为σ (C ). 类似可定义由C 生成的代数, 记为 A(C ). 例 7 设C 是由 X 的单点子集的全体所成的集类. 则 σ (C ) = {A : A 或 c A 是有限集或可数集}. (3) 证明 将(3)的右边所定义的集类记为F . 显然F ⊃ C . 不难验证F 是一个σ -代数 (具体验证过程留作习题). 另一方面, 设F ′ 是任意一个包含C 的σ -代数. 若 A 是至多可数 集, 则 A 可以表示成单点集的有限并或可数并. 既然F ′ 包含C 并且对有限并和可数并运