算封闭,因此A∈丌′.若A是至多可数集,则A∈丌由于对余运算封闭,因此 A=(A)°∈丌’.这表明′→丌.综上所证,丌是包含C的最小的σ--代数.因此 (C)=■ 例8设C={A:A是x的有限子集},C1={A:A或A是X的有限子集}.则 (C)=a(C1) 证明由于 CcC co(c1),并且σ(C)是包含C的最小σ-代数,因此 (C)ca(c1).往证相反的包含关系.设A∈C.则A或者A是有限集.若A是有限集 则A∈Ccσ(C).若AC是有限集,则A∈Cca(C).由于G(C)对余运算封闭,因此 A=(A°)∈a(C).这表明Cca(C)因此σ(C)cσ(C)这就证明了σ(C)=σ(C)■ 设C是一个非空集类.若是一个σ-代数并且Cc,则必有a(C)c.这是因 为σ(C)是包含的C的最小的σ-代数.由此得到测度论中常用的一种证明方法如下:设我 们要证明由集类C生成的-代数G(C)中所有的集都具有某种性质P令 ={A:A具有性质P} 然后证明()Cc丌.(i).是一个σ-代数.于是由a(C)的最小性知道a(C)c.即 (C)中所有的集都具有性质P 在上述证明方法中,具有性质P的集可以通俗的称为“好集”,上述证明方法可以称为 好集原理 以下部分不作为课堂讲授内容,必要时仅介绍其主要结果,不讲证明 丌类与类 定义9设C是一个非空集类 (1)称C为丌类,若C对有限交运算封闭 (2)称C为类,若C满足 ().X∈C (i).若A,B∈C并且A=B,则A-B∈C(对包含差运算封闭) i)若{A,}c界并且A,个,则∪A∈C(对单调增加的集列的并运算封闭) 设C是一个非空集类.类似于σ-代数的情形,存在一个包含C的最小类,称之为 由C生成的λ类,记为A(C) 定理10集类丌是σ一代数当且仅当既是丌类又是A类 证明必要性是显然的.往证充分性.因为丌既是丌类又是A类,因此牙对余运算和 有限交运算封闭.于是由 De Morgan公式推出对有限并运算封闭.设{An}是中的22 算封闭, 因此 A∈ F ′. 若 c A 是至多可数集, 则 ∈c A F ′. 由于F ′ 对余运算封闭, 因此 = ∈ c c A (A ) F ′. 这表明F ′ ⊃ F . 综上所证, F 是包含C 的最小的σ -σ -代数. 因此 σ (C ) = F . ■ 例 8 设 C = {A : A是X的有限子集}, C1 = {A : A或A 是X的有限子集}. c 则 σ (C ) = ( ). σ C1 证 明 由 于 C ⊂C1 ⊂ ( ) σ C1 , 并 且 σ (C ) 是包含 C 的最小 σ - 代 数 , 因 此 σ (C ) ⊂ ( ) σ C1 . 往证相反的包含关系. 设 A∈C1 . 则 A 或者 c A 是有限集. 若 A 是有限集, 则 A∈C ⊂ σ (C ). 若 c A 是有限集, 则 c A ∈C ⊂ σ (C ). 由于σ (C ) 对余运算封闭, 因此 A= ∈ c c (A ) σ (C ). 这表明C1 ⊂ σ (C ).因此 ( ) σ C1 ⊂ σ (C ). 这就证明了σ (C ) = ( ). σ C1 ■ 设C 是一个非空集类. 若F 是一个σ -代数并且C ⊂ F , 则必有σ (C ) ⊂ F . 这是因 为σ (C ) 是包含的C 的最小的σ -代数. 由此得到测度论中常用的一种证明方法如下: 设我 们要证明由集类C 生成的σ − 代数 σ (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F ={A : A具有性质P}. 然后证明(i).C ⊂ F . (ii).F 是一个σ -代数. 于是由σ (C ) 的最小性知道σ (C ) ⊂ F . 即 σ (C ) 中所有的集都具有性质 P. 在上述证明方法中, 具有性质 P 的集可以通俗的称为“好集”, 上述证明方法可以称为 “好集原理”. 以下部分不作为课堂讲授内容, 必要时仅介绍其主要结果, 不讲证明. π 类与λ 类 定义 9 设C 是一个非空集类. (1) 称C 为π 类, 若C 对有限交运算封闭. (2) 称C 为λ 类, 若C 满足 (i). X ∈C . (ii) .若 A, B ∈C 并且 A ⊃ B, 则 A − B ∈C (对包含差运算封闭). (iii) .若{An } ⊂ F 并且 ↑, An 则 ∈C ∞ = ∪ n 1 An (对单调增加的集列的并运算封闭). 设C 是一个非空集类. 类似于σ − 代数的情形, 存在一个包含C 的最小 λ 类, 称之为 由C 生成的λ 类, 记为λ(C ). 定理 10 集类F 是σ − 代数当且仅当F 既是π 类又是λ 类. 证明 必要性是显然的. 往证充分性. 因为F 既是π 类又是 λ 类, 因此F 对余运算和 有限交运算封闭. 于是由 De Morgan 公式推出F 对有限并运算封闭. 设{ } An 是F 中的一