列集。令Bn=UA,n≥1.则{Bn}并且Bn↑,由于丌是类,因此 UA,=UB.∈9.故5对可数并运算封闭所以是一个一代数 定理11设C是一个x类则A(C)=G(C) 推论12若C是一个r类,分是一个类并且Cc分,则σ(C)c界 证明由定理11知道(C)=A(C).即(C)是包含C的最小A类.而是一个包含 C的A类,因此(C)c■ 由推论12我们得到在测度论中另一个常用的证明方法.设C是一个丌类,若我们要证 明σ(C)中所有的集都具有某种性质P.令 ={A:A具有性质P} 然后证明()Cc.(i)是一个类.于是由推论12知a(C)c.即G(C)中所有 的集都具有性质P 小结本节介绍的环,代数和-代数等是测度论中常见的几种集类.它们的运算封闭 性一个比一个强.G-代数是最重要的一种集类.任何一个非空集类C可以生成一个σ-代 数,即σ(C),它是包含C的最小a-代数.利用a(C)的性质,得到测度论中常用的一种证 明方法即所谓“好集原理”,常常可以简化一些定理的证明 习题习题一,第18题一第28题23 列 集 . 令 , 1. 1 = ≥ = B A n n i n ∪ i 则 {Bn } ⊂ F 并 且 ↑ . Bn 由 于 F 是 λ 类 , 因 此 = ∈ ∞ = ∞ = ∪ ∪ 1 n 1 n n An B F . 故F 对可数并运算封闭. 所以F 是一个σ − 代数.■ 定理 11 设C 是一个π 类. 则λ(C ) = σ (C ). 推论 12 若C 是一个π 类, F 是一个λ 类并且C ⊂ F , 则σ (C ) ⊂ F . 证明 由定理 11 知道σ (C ) = λ(C ). 即σ (C ) 是包含C 的最小λ 类. 而F 是一个包含 C 的λ 类, 因此σ (C ) ⊂ F . ■ 由推论 12 我们得到在测度论中另一个常用的证明方法. 设C 是一个π 类, 若我们要证 明σ (C ) 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F ={A : A 具有性质 P}. 然后证明(i) C ⊂ F . (ii) F 是一个λ 类. 于是由推论 12 知σ (C ) ⊂ F . 即σ (C ) 中所有 的集都具有性质 P. 小 结 本节介绍的环, 代数和σ -代数等是测度论中常见的几种集类. 它们的运算封闭 性一个比一个强. σ -代数是最重要的一种集类. 任何一个非空集类C 可以生成一个σ -代 数, 即σ (C ) , 它是包含C 的最小σ -代数. 利用σ (C ) 的性质, 得到测度论中常用的一种证 明方法即所谓“好集原理”, 常常可以简化一些定理的证明. 习 题 习题一, 第 18 题—第 28 题