例24.2设0<x1<1,xn1=x、(1-x),n=123,…。证明{xn}收 敛,并求它的极限。 解应用数学归纳法,可以得到对一切n∈N+, <x< 由 (1-xn)(n=12,…),可得 即{xn}单调减少有下界,由定理2.4.1,{x}收敛。 设imxn=a,在等式xn1=xn(1-xn)两边同时求极限,得到方程 n→0 a=a(1-a),解得a=0。于是得到: limx.=0。例2.4.2 设 < x1 < 10 , xn+1 = x x n n ( ) 1− ,n = 123 ,,,"。证明{ xn }收 敛，并求它的极限。 解 应用数学归纳法，可以得到对一切 + n ∈ N ， < xn < 10 。 由 xn+1 = x x n n ( ) 1− ( n = ,2,1 ")，可得 xn+1 - xn = 0 2 xn <− ， 即{ xn }单调减少有下界，由定理2.4.1，{ }n x 收敛。 设 lim n→∞ xn = a ，在等式 xn+1 = x x n n ( ) 1− 两边同时求极限，得到方程 aa a = ( ) 1− ，解得a = 0。于是得到： lim n→∞ xn = 0