2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分第1章 预备知识函数概念数列极限 1.1预备知识 1.1.1实数集的性质 实数连续性的描述:确界公理 任何有界实数集合,必有最小上界和最小下界;但不一定有最大数或最小数 1.1.2绝对值 y=x是一种函数表达形式,对任意实数x有 x=0,或记为y=|x 0 x x≥0 x>0 对任意实数x与a≥0有:xsa asx≤a,并且,若a=0 则必有x=0。而x≥asx≥a或≤- 1.1.3基本不等式 (1)绝对值不等式:x,y∈R有-≤x≤0≤x+x≤2且 y2≤(x+少或√x2+y2s+py (2)三角不等式:x,y∈R,有x+ysx+川且|x≥|x-例 (3)平均值不等式:x,y∈R,有(x2+y2)≥x 若x≥0,y≥0,则有(x+y)≥√x 例如x,y∈R,可证明:√x2+y2≤+≤√2x2+y2) x +y=vx2+y2+2xy < v2(x2+y2) x+1 y2) (4)对任意实数x∈|0,)有 sinx<x s tan x (其他不等式:1)a>b>1→bb 数:3)对n>m即k>0有"<"不q-13)a≥-1=(+a)>1+na,m为正整 nn+k 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网:www.tsinghuatutor.com电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分第 1 章 预备知识 函数概念 数列极限 1.1 预备知识 1.1.1 实数集的性质 实数连续性的描述: 确界公理 任何有界实数集合，必有最小上界和最小下界；但不一定有最大数或最小数。 1.1.2 绝对值 y = x 是一种函数表达形式，对任意实数 x 有 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = − < = = 0 0 0 0 x x x x x y x ，或记为 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ − < = = 0 0 x x x x y x 对任意实数 x 与a ≥ 0 有： x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a ，并且，若a = 0 ， 则必有 x = 0 。而 x ≥ a ⇔ x ≥ a 或x ≤ −a 。 1.1.3 基本不等式 （1）绝对值不等式：∀x, y ∈ R 有 − x ≤ x ≤ x , 0 ≤ x + x ≤ 2 x 且 2 2 2 x + y ≤ ( x + y ) 或 x + y ≤ x + y 2 2 （2）三角不等式： ∀x, y ∈ R ，有 x + y ≤ x + y 且 x − y ≥ x − y 。 （3）平均值不等式： ∀x, y ∈ R ，有 (x + y ) ≥ xy 2 1 2 2 若 x ≥ 0, y ≥ 0 ，则有 ( x + y) ≥ xy 2 1 例如∀x, y ∈ R ，可证明： 2( ) 2 2 2 2 x + y ≤ x + y ≤ x + y 。 2 2( ) 2 2 2 2 x + y = x + y + xy ≤ x + y 2( ) 2 2 2 2 x + y ≤ x + y ≤ x + y （4）对任意实数 [ , ) 2 0 π x ∈ 有 sin x ≤ x ≤ tan x (5) 其他不等式: 1) 1 1 1 − − > > ⇒ > a b a b a b ; 2) a ( a) n a n n ≥ −1⇒ 1+ > 1+ , 为正整 数；3）对n > m 即k > 0 有 n k m k n m + + < 。 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805