初等代数研究 证明：对任意n∈N, 由定理2得 + n1++1 n+1 = (三)柯西(Cauchy)不等式 定理3设Va,b∈Ri=l,2,3.,n, 则(2ah≤ax2) 当且仅当a,=kh=1,2,.,n)时，等号成立 证明：设fx)=x2∑a2-2x∑ab+∑b 显然总有f(x)≥0， 又x的系数立a>0(不妨设a都不为零) 于是4位aA-4020s0 ahPs2a.2的 (四)伯努利(Bernoulli)不等式 定理4设x>-L,则 1D当0<a<时，(1+x)≤1+x 2)当a<0或a>时，1+x)21+c 其中当且仅当x=0时等号成立 证明：1)当0<a<1时， 如果a为有理数，令a=m(m,neN,m<n) 于是1+x=0+)=0+r网 ≤m1+x)+(n-m)- =1+x=1+初等代数研究 8 证明： （三）柯西(Cauchy)不等式 证明： （四）伯努利（Bernoulli)不等式 证明： 1 * 1 1 1 1 2. , 1 +       +   +       + n n n n 例 已知 n N 求证 对任意n N，由定理2得 n n       + 1 1 1 1 1        = + n n 1 1 ) 1 1 (1 +           + + +  n n n n 1 1 1 1 +       + + + = n n n 1 1 1 1 +       + = + n n ( 1,2, , ) . ( ) ( )( ) 3 , ( 1,2,3 , ) 1 2 1 2 1 2 当且仅当 时，等号成立 则 定理 设 ， a k b i n a b a b a b R i n i i n i i n i i n i i i i i   = =    =    = = =    = = = = − + n i i n i i i n i f x x ai x a b b 1 2 1 1 2 2 设 ( ) 2 显然总有f (x)  0, 又 的系数 不妨设 i都不为零） n i x ai 0( a 1 2 2   = 4( ) 4 0 1 2 1 2 2 1  −    = = = n i i n i i n i 于是 aibi a b  （ ）（ ） = = =   n i i n i i n i aibi a b 1 2 1 2 2 1 ( ) 0 . 2) 0 1 (1 ) 1 . 1 0 1 1 ) 1 ; 4 1, 其中当且仅当 时等号成立 当 或 时， ）当 时，（ 定理 、设 则 =   +  +   +  +  − x x x x x x        1）当0  1时， 如果为有理数， (m,n N,m n) n m 令 =    于是(1+ x) n m = (1+ x) n m n m x − = (1+ ) 1 n m(1+ x) + (n − m)1  x x n m =1+ =1+