14.(004-09)设矩阵A=x4y,已知A有三个线性无关的特 征向量,A=2是A的二重特征值.试求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角形矩 阵. 解因为A有三个线性无关的特征向量,A=2是A的二重特征值,所以 对应于=2的线性无关的特征向量有两个,故秩(2E-4)=1 经过初等行变换 2E-A=-x-2-y→0x-2-x-y 00 于是,解得x=2,y=-2 矩阵A=x4y,其特征多项式 由此得特征值A=2=2,2=6 对于特征值为1=2=2,解线性方程组(2E-A)x=0,有 E-A=-2-22→000 000 对应的特征向量为 a=(1-10)2,a2=(1.0)2 对于特征值為3=6,解线性方程组(6E-A)x=0,有 E-A=-222 331 000 对应的特征向量为吗=(,-23),令