(2)=x2-(x2-x)+2-2(2-yx,知点位于:与2连线上定比入=上 处 (3)z=(x1+x2+x)+(1+y2+y3),由几何知识知点位于A=1z2=3的重心 处 19.设12=2,-3三点适合条件:1+2+23=0 =|2=|=1。证明z,2,是内接于单位圆=1的一个正三角形的顶 点 证由于|==|2|=13=1,知△23的三个顶点均在单位圆上 因为 1=|= G+=(+5)=+35+5+5 2+12+12 所以,=122+212=-1,又 (二1-22)(1-三2)=11+22-(=12+221) 故 -2|=√3,同理-=2-=√3,知△2是内接于单位圆 的一个正三角形 20.如果复数z1,z2,z3满足等式 证明|2-|=|3--|=2-,并说明这些等式的几何意义 由等式得 arg(2-1)-arg(3-1)=ag(1-23)-arg(2--3) 即∠2-1-3=∠=1-3二2。又因为 又可得∠2-13=∠=3=2-1,所以知△=1=2-3是正三角形,从而（2） ( ) [ ( )] 2 2 1 2 2 1 z = x − λ x − x + i y − λ y − y ，知点位于 z1与 z2 连线上定比 |z z| |z z| 2 1 1 λ − − = 处。 （3） ( ) ( 1 2 3 1 2 3 3 i 3 1 z = x + x + x + y + y + y )，由几何知识知点 z 位于 的重心 处。 1 2 3 ∆z z z 19．设 z z 1 2 , ,z3三点适合条件： z1 + z2 + z3 = 0 , 1 z1 = z2 = z3 = 。证明z1，z2，z3是内接于单位圆 z = 1的一个正三角形的顶 点。 证 由于 1 z1 = z2 = z3 = ，知 ∆z1z2 z3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 2 3 3 1 = = z z 3 z [ ( )][ ( )] 1 2 1 2 1 1 2 2 3 2 1 2 = − z + z − z + z = z z + z z + z z + z z 2 1 2 1 2 = + z z + z z 所以， 1 z1z2 + z1z2 = − ，又 ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 z − z = z − z z − z = z z + z z − z z + z z = 2 − (z1z2 + z1z2 ) = 3 故 z1 − z2 = 3 ，同理 z1 − z3 = z2 − z3 = 3 ，知 1 2 3 ∆z z z 是内接于单位圆 z = 1 的一个正三角形。 20．如果复数z1，z2，z3满足等式 2 3 1 3 3 1 2 1 z z z z z z z z − − = − − 证明 2 1 3 1 2 3 z − z = z − z = z − z ，并说明这些等式的几何意义。 由等式得 arg( ) arg( ) arg( ) arg( ) 2 1 3 1 1 3 2 3 z − z − z − z = z − z − z − z 即 2 1 3 1 3 2 ∠z z z = ∠z z z 。又因为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 3 1 2 3 2 1 1 3 3 1 2 1 z z z z z z z z z z z z z z z z − − = − + − − + − = − − 又可得 2 1 3 3 2 1 ∠z z z = ∠z z z ，所以知 1 2 3 ∆z z z 是正三角形，从而 2 1 3 1 2 3 z − z = z − z = z − z 。 7