例24.2设0<x1<1,xm1=xn(1-xn),n=12,3,…。证明{xn}收 敛,并求它的极限。 解应用数学归纳法,可以得到对一切n∈N+, <X< 由xn1=xn(1-xn)(n=1,2…),可得 <0, 即{xn}单调减少有下界,由定理2.4.1,{xn}收敛 设lmxn=a,在等式xn1=xn(1-xn)两边同时求极限,得到方程 a=a(1-a),解得a=0。于是得到: lin 0 n→0例2.4.2 设 0  x1 1, xn+1 = x x n n (1− ) ,n = 1,2,3,  。证明{ x n }收 敛，并求它的极限。 解 应用数学归纳法，可以得到对一切 + n  N ， 0  xn  1。 由 xn+1 = x x n n (1− ) ( n = 1,2, )，可得 xn+1 - x n = 0 2 − xn  ， 即{ x n }单调减少有下界，由定理2.4.1，{ }n x 收敛。 设 lim n→ xn = a ，在等式 xn+1 = x x n n (1− ) 两边同时求极限，得到方程 a = a(1− a)，解得a = 0。于是得到： lim n→ xn = 0