第八章欧氏空间 1.教学基本要求 通过本章教学，使学生正确理解政氏空间的定义与基本性质。掌握标准正交基的求法。 掌握正交变换与对称变换等重要概念。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能 通过本章教学使学生学握Cauchy-Schwarz不等式：度量矩阵的性质与不同基的度量矩 阵之间的关系：正交基、标准正交基等概念，Schimidt正交化方法，正交阵的简单性质： 正交变换的几个等价刻划：一个子空间的正交补的存在唯一性与其集合形式：实对称矩阵的 特征值、特征向最的特性：求正交阵T,使实对称矩阵正交相似于对角阵的方法：用正交线 性替换化实二次型为标准形的方法。 3.教学重点和难点 教学重点是内积、标准正交基及利用正交变换化实对称矩阵为对角形。教学难点是标准 正交基的求法与用正交变换化实对称矩阵为对角形。 4.教学内容 第一节欧氏空间的定义与基本性质 1.内积的定义和简单性质 2.Cauchy-Schwarz不等式 3.向量的长度、夹角、正交、距离 4.度量矩阵 第二节标准正交基 1.正交组、标准正交组、正交基、标准正交基 2.在标准正交基下向量的坐标、内积、长度、距离 3.Schimidt正交化方法 4.标准正交基的过渡矩阵、正交矩阵及其简单性质 第三节欧氏空间的同构 1.同构的定义和简单性质 2.有限维欧氏空间同构的充要条件 第四节正交变换 1正交变换的定义 2.正交变换的等价条件（保持向量的长度不变、把标准正交基变成标准正交基、在标 准正交基下的矩阵为正交阵) 3.正交变换的类型 4.幸二维和三维欧氏空间的正交变换的类型 第五节子空间的正交 第八章 欧氏空间 1.教学基本要求 通过本章教学，使学生正确理解欧氏空间的定义与基本性质。掌握标准正交基的求法。 掌握正交变换与对称变换等重要概念。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能 通过本章教学使学生掌握 Cauchy-Schwarz 不等式；度量矩阵的性质与不同基的度量矩 阵之间的关系；正交基、标准正交基等概念， Schimidt 正交化方法，正交阵的简单性质； 正交变换的几个等价刻划；一个子空间的正交补的存在唯一性与其集合形式；实对称矩阵的 特征值、特征向量的特性；求正交阵 T，使实对称矩阵正交相似于对角阵的方法；用正交线 性替换化实二次型为标准形的方法。 3.教学重点和难点 教学重点是内积、标准正交基及利用正交变换化实对称矩阵为对角形。教学难点是标准 正交基的求法与用正交变换化实对称矩阵为对角形。 4.教学内容 第一节 欧氏空间的定义与基本性质 1. 内积的定义和简单性质 2. Cauchy-Schwarz 不等式 3. 向量的长度、夹角、正交、距离 4. 度量矩阵 第二节 标准正交基 1. 正交组、标准正交组、正交基、标准正交基 2. 在标准正交基下向量的坐标、内积、长度、距离 3. Schimidt 正交化方法 4. 标准正交基的过渡矩阵、正交矩阵及其简单性质 第三节 欧氏空间的同构 1. 同构的定义和简单性质 2. 有限维欧氏空间同构的充要条件 第四节 正交变换 1. 正交变换的定义 2. 正交变换的等价条件（保持向量的长度不变、把标准正交基变成标准正交基、在标 准正交基下的矩阵为正交阵） 3. 正交变换的类型 4.  二维和三维欧氏空间的正交变换的类型 第五节 子空间的正交