ab=k,k∈Z,于是 b= b(ua+vp)=bua+bvp =ukp+bvp=(uk +bv)p 故p|b 运用数学归纳法,就有若素数p整除a1a2…an,则p整除某个因子a1。 现在可以来证明定理本身了。 存在性对n用数学归纳法。当n=2时,结论显然成立 故可设n>2,并设结论对<2的正整数已经成立。 若n是素数,则n=p即为所求的分解式;若n为合数,则n=kl,1<k,l<n。又归 纳假设,k,l均可表成若干素数的乘积,当然n也有这样的分解式。 唯一性若又有 n=q1q2…q,q(i=1,2,,1)为素数 由引理可知P1必整除某个q,不失普遍性,可设B14。因P12q都是素数,故得P1=q1 于是 P2∵P=q2…q PI 又归纳假设,对一成立分解式的唯一性,从而得到n的分解式的唯一性。又算术基本定理, PI 每个>1的正整数n都可以唯一的表成 p1p2…P 的形状,其中P1<P2<…<P,是素数,而a2a2…a,是正整数,这叫做n的素因子标准 分解式。上面的定理又称为因子分解为一定理ab kp = ， k Z ，于是 ( ) ( ) b b ua vp bua bvp ukp bvp uk bv p = + = + = + = + 故 p b| 。 运用数学归纳法，就有若素数 p 整除 1 2 n a a a ，则 p 整除某个因子 i a 。 现在可以来证明定理本身了。 存在性 对 n 用数学归纳法。当 n = 2 时，结论显然成立。 故可设 n  2 ，并设结论对  2 的正整数已经成立。 若 n 是素数，则 n p = 即为所求的分解式；若 n 为合数，则 n kl k l n =   ,1 , 。又归 纳假设， kl, 均可表成若干素数的乘积，当然 n 也有这样的分解式。 唯一性 若又有 1 2 t n q q q = ， ( 1,2,..., ) i q i t = 为素数 由引理可知 1 p 必整除某个 i q ，不失普遍性，可设 1 1 p q| 。因 1 1 p q, 都是素数，故得 1 1 p q = 。 于是 2 2 1 s t n p p q q p = = 又归纳假设，对 1 n p 成立分解式的唯一性，从而得到 n 的分解式的唯一性。又算术基本定理， 每个  1 的正整数 n 都可以唯一的表成 1 2 1 2 s s n p p p    = 的形状，其中 1 2 s p p p    是素数，而 1 2 , ,...,   s 是正整数，这叫做 n 的素因子标准 分解式。上面的定理又称为因子分解为一定理