给定Z的两个理想1,l2,则 1)它们的交集∩l2也是Z的理想,称为此两理想的交; 2)定义 1+l2={a+a2|a1∈l12a2∈l2} 则l1+l2也是Z的理想,称为l1,12的和。 我们不难得到关于理想的两个重要结论 结论1设a,b是两个非零整数,m是a,b的最小公倍数,则(a)∩(b)=(m)。 结论2设a,b是两个不全为零的整数,则(a)+(b)=(d),其中d=(a,b) 作为结论2的推论,我们有一个重要的结果: 命题设a,b是两个不全为零的整数,则下面命题互相等价: (i)a,b互素,即(a,b)=1; (i)有L,v∈Z,使la+vb=1 (i)(a)+(b)=Z=(1) 8.1.4因子唯一分解定理 定义8.4(唯一分解整环的定义)设R为一整环(即环R至少包含两个元素,交换 有幺元,无零因子)。如果R满足下列两条件,则R叫做一个唯一(因子)分解整环(也叫 高斯整环) 1)R的每个非零非单位的元素n恒可以写成有限多个不可约元素的积 n=P1P2…P 2)上述分解在相伴意义下是唯一的,即若元素n有两种分解 a=p1P2…pPn=q1q2…q,。则r=s而且适当改变q1的角标可使 q=P,(或在抽象意义下q1≡P1)(=1,2,…,r) 在抽象代数课程中,我们将用(1)因子链条件(参见习题一第7题)和(2)整环R 中的不可约元即为素元素(即下面的引理)来证明定理主理想整环是唯一分解整环。 在这里,我们仅就有理整数环这一特殊情形给出证明,即有下面的定理 定理(算术基本定理)任一正整数n>1都能表成若干素数的乘积 n=P1P2…P,P2(i=1,2,…,s)为素数 并且若不计p,的排列次序,上述表法唯一 先证明引理(有理整数环中的素因子即为不可约因子)设p是素数,且a,b∈Z。若 p|ab,则p|a或p|b。事实上,因p只有两个正因子1和p,故(Pa)=P或1。若 (P,a)=p,则p|a;而若(p,a)=1,即有n,v∈Z使得la+W=1,另一方面可设给定 Z 的两个理想 1 2 I I, ，则 1） 它们的交集 1 2 I I 也是 Z 的理想，称为此两理想的交； 2） 定义 1 2 1 2 1 1 2 2 I I a a a I a I + = +   { | , } 则 1 2 I I + 也是 Z 的理想，称为 1 2 I I, 的和。 我们不难得到关于理想的两个重要结论： 结论 1 设 a b, 是两个非零整数， m 是 a b, 的最小公倍数，则 ( ) ( ) ( ) a b m = 。 结论 2 设 a b, 是两个不全为零的整数，则 ( ) ( ) ( ) a b d + = ，其中 d a b = ( , ) 。 作为结论 2 的推论，我们有一个重要的结果： 命题 设 a b, 是两个不全为零的整数，则下面命题互相等价： （i） a b, 互素，即 ( , ) 1 a b = ； （ii）有 u v, Z ，使 ua vb + =1 ； (iii) ( ) ( ) (1) a b + = Z= . 8.1.4 因子唯一分解定理 定义 8.4（唯一分解整环的定义）设 R 为一整环（即环 R 至少包含两个元素，交换， 有幺元，无零因子）。如果 R 满足下列两条件，则 R 叫做一个唯一（因子）分解整环（也叫 高斯整环）： 1） R 的每个非零非单位的元素 n 恒可以写成有限多个不可约元素的积 1 2 r n p p p = ； 2 ） 上 述 分 解 在 相 伴 意 义 下 是 唯 一 的 ， 即 若 元 素 n 有两种分解 1 2 1 2 r s a p p p q q q = = 。则 r s = 而且适当改变 i q 的角标可使 i i q p = （或在抽象意义下 i i q p  ） ( 1,2,..., ) i r = 。 在抽象代数课程中，我们将用（1）因子链条件（参见习题一第 7 题）和（2）整环 R 中的不可约元即为素元素（即下面的引理）来证明 定理 主理想整环是唯一分解整环。 在这里，我们仅就有理整数环这一特殊情形给出证明，即有下面的定理： 定理（算术基本定理） 任一正整数 n 1 都能表成若干素数的乘积 1 2 s n p p p = ， ( 1,2, , ) i p i s = 为素数 并且若不计 i p 的排列次序，上述表法唯一。 先证明引理（有理整数环中的素因子即为不可约因子）设 p 是素数，且 a b, Z 。若 p ab | ，则 p a| 或 p b| 。事实上，因 p 只有两个正因子 1 和 p ，故 ( , ) p a p = 或 1。若 ( , ) p a p = ，则 p a| ；而若 ( , ) 1 p a = ，即有 u v, Z 使得 ua vp + =1 ，另一方面可设