证这里仅对im=A为有限数时来证明 x-a+g(x) 先证明limf(x)=limg(x)=0的情况。 x→a x→a 补充定义f(a)=8(a)=0,则f(x)和g(x)在[a+d上连续,在 aa+d上满足 Cauchy中值定理的条件,因而对于任意x∈(a,a+d),存 在ξ∈(a,a+d),满足 f(x)f(x)-f(a)f"(2) g(x) g(x)-g(a) g(5 当x→>a+时显然有ξ→a+。两端令x→a+,即有 lim f(x) lm(5 lm y(r) x-a+ g(x)5>+g(5 x)a+g()证 这里仅对 lim ( ) x a ( ) f x → + g x   = A为有限数时来证明。 先证明 lim ( ) lim ( ) x a x a f x g x → + → + = = 0 的情况。 补充定义 f (a) = g(a) = 0，则 f (x)和 g(x)在a,a + d上连续，在 a,a + d上满足Cauchy中值定理的条件，因而对于任意 x  (a,a + d) ,存 在 (a,a + d) ，满足 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a f g x g x g a g   −  = = −  。 当 x → a +时显然有 → +a 。两端令 x → a +，即有( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g f g x f x x a a x a   =   = → + → +  → +  