第五章矩阵的特征值及特征向量 皮学鞋据持特为量的炭法 使学生学握相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 使学生掌握本章内容总结和典型例题选讲 致 学特征值与特征向量的求法 相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 教 学 特征值与特征向量的求法 难相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 点 教学过程 (一)回顾向量的数量积，引入新课 (二)新课。 第一节：向量的正交及正交矩阵 向量的内积 定义1对给定的列向量元，称G,列=于为，的内积。 性质①G,列-0，：®(，列-元列：©依+-优，)+0.： ⑨依，)≥0，且当元≠0时，有G,)>0。 定义2对向量=(，x2,.,x)了，规定x的长度同=反，到=++后。 性质①当≠0时，问>0：当=0时，问=0：②=： ⊙非+s+:回施瓦茨不等式G,列？≤任，G,列。 规定向量的夹角为：0m0,d5,6。 定义3若(，)=0，则称向量与正交。0与任何向量正交。 正交向量组 定理若n维向量ā，ā，是一组两两正交的非零向量组，则a,.,a,线性无关。 定理设向量组a,ā，线性无关，令 质=，店心含常4，房=西骨4份密及， (a B 16 第五章 矩阵的特征值及特征向量 教 学 目 的 使学生掌握特征值与特征向量的求法 使学生掌握相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 使学生掌握本章内容总结和典型例题选讲 教 学 重 点 特征值与特征向量的求法 相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 教 学 难 点 特征值与特征向量的求法 相似矩阵的概念、性质、矩阵可对角化的充要条件条件 教 学 过 程 （一） 回顾向量的数量积，引入新课 （二） 新课。 第一节：向量的正交及正交矩阵 向量的内积 定义 1 对给定的列向量 x y   , ，称 x y x y T     ( , ) =  为 x y   , 的内积。 性质  (x, y) ( y, x)     = ； ( x, y) (x, y)      =  ； (x y,z) (x,z) ( y,z)        + = + ；  (x, x)  0   ，且当 0   x  时，有 (x, x)  0   。 定义 2 对向量 T n x (x , x , , x ) 1 2   = ，规定 x  的长度 2 2 1 ( , ) n x = x x = x ++ x    。 性质 当 0   x  时， x  0  ；当 0   x = 时， x = 0  ；  x x    =  ；  x y x y     +  + ；施瓦茨不等式 ( , ) ( , )( , ) 2 x y x x y y        。 规定向量 x y   , 的夹角为： , 0, 0 ( , ) arccos            = x y x y x y  。 定义 3 若 (x, y) = 0   ，则称向量 x  与 y  正交。 0  与任何向量正交。 正交向量组 定理 若 n 维向量 a ar    , , 1 是一组两两正交的非零向量组，则 a ar    , , 1 线性无关。 定理 设向量组 a ar    , , 1 线性无关，令 1 =1， 1 1 1 2 1 2 2 ( , ) ( , )       =  − ， 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )            =  − − ，- 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) − − − − = − − − r r r r r r r r r                  