则所得到的A.房？是正交向量组，且与ā一，4等价。如果继续令A“岛，则得到的向量组 n,h与4,24，等价的标准正交向量组 定理设，是n维向量组的标准正交向量组，如果，<m,则必存在n维向量1，使 ,，1也构成标准正交向量组。 推论设，是n维向量的标准正交向量组，如果，<n,则必存在n-r个n维向量，2 也构成标准正交向量组。 介绍正交矩阵与正交变换。 2.例题选讲 例1设向量组m,2,.a线性无关，房可由向量组，2gm线性表示，而伪不能由向量组 m,m,an线性表示，试证m+1个向量m,m,am,房+历线性无关。 例2设A是m×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m,且AB=E,证明B的列向量组线性无关。 证明：令B=(保，及B),要证A,及，线性无关，只需证明)=n。 因为RB)smim,m)=n,又AB=E,所以n=E)=RAB)Smm(R刷，RB)sRB,故R=n。 例3设4=1232=B-12,a=(230,问t取何值时，4,2.线性无关，取何值时，4,2.4线性 相关。 提示：由例2的结论知：当A的列向量组的秩等于向量的个数时，该列向量组线性无关，即 ,a2,0,a,43线性无关，当4,2，-0,4,243线性相关。 第二节：方阵的特征值与特征向量 1.特征值与特征向量的性质 定义（给出特征值与特征向量的性质）：=，≠0(1)。 :=示-(4-E)x=0(2),(2)有非零解-4-=0(3)一称为A的特征方程，f2)=4- 叫做A的特征多项式。由多项式的根与系数的关系可得： 回+方+.n=a1+a2++am②石.n=4。 2.方阵A的特征值与特征向量的求法 先解14-=2)=0，得出A的n个特征值元，1=12，n,再对每一，解(A-E)x=0,其 非零解均是与，相应的特征向量，元是实（复）数，特征向量相应为实（复）向量。 例5。求4一（仁）的特征位和特征向量。17 则所得到的   r , , , 1 2  是正交向量组，且与 a ar    , , 1 等价。如果继续令 i i i    = ，则得到的向量组   r , , , 1 2  与   r , , , 1 2  等价的标准正交向量组。 定理 设   r , , , 1 2  是 n 维向量组的标准正交向量组，如果 r  n ，则必存在 n 维向量 r+1 ，使   r , , , 1 2  ，r+1 也构成标准正交向量组。 推论 设   r , , , 1 2  是 n 维向量的标准正交向量组，如果 r  n ，则必存在 n-r 个 n 维向量 r r n , , , +1 +2  也构成标准正交向量组。 介绍正交矩阵与正交变换。 2．例题选讲 例 1 设向量组 1 ,2 ,  ,m 线性无关， 1 可由向量组 1 ,2 ,  ,m 线性表示，而 2 不能由向量组 1 ,2 ,  ,m 线性表示，试证 m +1 个向量 1 ,2 ,  ,m， 1 + 2 线性无关。 例 2 设 A 是 n  m 矩阵，B 是 m  n 矩阵，其中 n  m ，且 AB=E，证明 B 的列向量组线性无关。 证明：令 ( , , , ) B = 1 2  n ，要证   n , , , 1 2  线性无关，只需证明 R(B) = n 。 因为 R(B)  min(m,n) = n ，又 AB = E ，所以 n = R(E) = R(AB)  min(R(A),R(B))  R(B) ，故 R(B) = n 。 例 3 设 (1,2,3), (3, 1,2), (2,3, ) 1 2 3  =  = −  = t ，问 t 取何值时， 1 2 3  , , 线性无关，取何值时， 1 2 3  , , 线性 相关。 提示：由例 2 的结论知：当 A 的列向量组的秩等于向量的个数时，该列向量组线性无关，即 1 ,2 ,3  0 ， 1 2 3  , , 线性无关，当 1 ,2 ,3 = 0 ， 1 2 3  , , 线性相关。 第二节：方阵的特征值与特征向量 1．特征值与特征向量的性质 定义 （给出特征值与特征向量的性质）： , 0     Ax = x x  （1）。 ( ) 0     Ax = x  A−E x = （2），（2）有非零解  A−E = 0 （3）—称为 A 的特征方程， f () = A−E 叫做 A 的特征多项式。 由多项式的根与系数的关系可得：  ; 1 + 2 +n = a11 + a22 ++ ann  12 n = A 。 2．方阵 A 的特征值与特征向量的求法 先解 A−E = f () = 0 ，得出 A 的 n 个特征值 i ，i = 1,2,  , n ，再对每一 i ，解 ( ) 0   A−E x = ，其 非零解均是与 i 相应的特征向量， i 是实（复）数，特征向量相应为实（复）向量。 例 5． 求         − − = 1 3 3 1 A 的特征值和特征向量